《反觑自身[石纪元 烟叉]》Xavier26

9、不要玩自己无法承受损失的游戏09 在运气面

　　在运气面前保持清醒不要玩自己无法承受损失的游戏09

　　? ? ?
　　天才和疯子只有一线之隔这句话，赛诺已经听腻了。
　　“轮盘的弹道预测，体谅我必须从幂次定律开始思考。幂次定律的形式是y=ax?，它不是从某个单一理论推导出来的，而是人类观察自然现象后发现的普遍模式。最早的使用例子是克卜勒第三定律，他发现行星公转周期T与轨道半径r满足T?正比于r? ——而牛顿从万有引力定律中，推导出这是一个幂次关系。”
　　“为什么自然界到处都是幂次定律？核心原因是尺度不变性（scale invariance），如果一个系统在不同尺度下行为相似，数学上必然导出幂次形式。让我们开始分析哪个函数f(x)在尺度变换下不变？可以很快发现唯一满足这个条件的函数就是幂函数f(x)=ax?。指数函数和对数函数都不具备这个性质，为什么？这个要用具体数字验证。幂函数f(λx)=λ?×f(x) ——这个公式的意思是把输入放大λ(Lambda)倍，输出也跟着放大固定的λ?倍，比例关系不随x本身的大小而改变，取f(x)=x?，λ=3来计算，我们可以得到f(3x)=(3x)?=9x?=3?×f(x)，也就是说无论x=1还是x=100，放大三倍输入，输出永远放大九倍，我们可以发现比例显而易见是固定的。”

　　“指数函数为什么不行？因为系数会随x爆炸增长，没有固定比例；对数函数则是完全不固定。之所以谈到幂次函数的原因是，在轮盘球的应用上，球的减速涉及空气阻力与摩擦力，物理上空气阻力正比于速度平方，滚动摩擦正比于速度，这些都是幂次关系，组合后导致角速度衰减也呈现幂次或是指数结构。因此，欢迎来到微积分世界。”
　　“我假设轮盘球的减速行为服从一阶线性ODE，公式是x(t)=Ae??+C。这是什么意思对吧？首先，我们必须知道的第一件事是微分方程的定义在说——含有未知函数及其导数的方程，普通代数方程求的是未知数，例如x?-5x+6=0，解是x=2或x=3。微分方程求的是未知函数，例如dy/dx=y，解是y(x)=Ce?，代入后等式成立。ODE是Ordinary Differential Equation 的缩写，意思是常微分方程，特征是未知函数只有一个自变数，会这么说的原因是因为还有PDE，Partial Differential Equation，意思是偏微分方程，特征是未知函数有多个自变数含偏导数。”

　　“轮盘球问题的x(t)只随时间t一个变数变化，所以是ODE。我说了公式是x(t)=Ae??+C，我们先把公式看成A=1/B×T(max)。B是指在轮盘上，记录球每一圈的耗时得到的一系列数据。我现在只能以肉眼观察轮盘，接着就是对数据取对数后做线性回归，得出的斜率便会是B。”
　　“线性回归是一种统计方法，用来描述一个或多个自变数，与一个因变数之间的线性关系。讲直白一点就是，在数据中找一条直线或超平面，使所有数据点到这条线的距离平方和最小。它是一个几何、代数，以及统计问题。”

　　“我用肉眼观察的数据总共有两个。一是从开始计时起的累积时间秒，二是当下每圈耗时的周期。我会用到的计算方法是最小二乘回归（Least Squares Regression）。这个方法来源于Gauss与Legendre的天文学问题。Legendre1805年在研究彗星轨道时，第一个公开发表了最小二乘法，但纯粹是计算技巧，后来Gauss声称自己从1795年就开始使用，并在1809年给出理论基础——假设误差是常态分布，最合理的参数估计就是让预测值与观测值的平方差总和最小。”
　　“球的减速模型假设成周期随时间指数增长。公式是T(τ)=T0×eBτ，这本身当然不是线性，但对两边取自然对数，公式lnT=lnT0+Bτ，令Y=lnT、X=τ，得到Y=斜率(B)×X+截距(lnT0)。”

　　赛诺抬起头，观察着轮盘继续道：“稍等，我现场观测一下——”
　　“你现场观测一下？现场吗？！”女士惊呼，“你是认真的吗？！”

　　“对啊不然还能怎么办？毕竟不能带计算机，带计算机被发现好像是犯罪？”
　　斯坦利：“妳应该习惯他就是这种人了。”

　　“当累积时间是0.97秒，周期是0.35秒，截距是-1.050......嗯，以此类推之后我拟合出的斜率B大约是3/20=0.15。啊，也就是说，每过一秒，球的周期乘以常数e的0.15次方约等于1.16，即每秒减速约16%。”
　　“回到我们原本的公式A=1/B×T(max)，我们现在来讨论T(max)。T(max)是在说球脱离外轨的临界速度——意思是当球的周期超过某个值，离心力不足以维持它在外轨上，球就会自然落下。这个部分也是纯粹的物理观察，误差完全取决于我或是斯坦的眼睛。”

　　“差不多两秒吧。”斯坦利说。
　　“两秒的话，那就是每秒约0.5圈。”赛诺思考，“现在我们可以代入A=1/B×T(max)，来求A的数值了。”

　　“A=1/(3/20)×2=1/(3/10)=10/3。”赛诺说，“不过这个只能算是初始近似值吧，因为T(max)会受到轮盘型号、磨损程度不同的影响，所以A值跟着改变是一定的。”
　　“我们回到最原始的公式x(t)=Ae??+C。求C很简单，当球即将停止时，剩余时间t=0，剩余圈数也应为0。x(0)=A×常数e的零次方+C=A+C=0，得到C=-A=-10/3。”
　　“恭喜我们得到了预测公式所需的球运动方程理论模型之原始公式ABC的数值。预测公式预测的是当球每圈耗时T秒时，他还剩几圈才会落入格子。现在来对原始公式求导，这边会使用到的是1/(e?-1)(Planck distribution)。Planck在1900年为了解释黑体辐射，首次推导出这个表达式，描述在温度T下，频率为ω的量子态平均被占据的光子数。”
　　“已知x(t)=10/3(e?????-1)，球的瞬时角速度dx/dt=1/2e????? ，周期T是角速度的倒数嘛，T=1/(dx/dt)=2e??????，又反解t代回原公式换成用T，得到20/3T-10/3。代入具体数字验证，T=0.5秒时，20/(3×0.5)-10/3=10圈，但这个是把球的运动视为积分，我在此做一个修正，当每圈是离散跳跃，T较大、也就是球比较慢时预测会差很多。T很小就几乎相同。所以1/(e的(0.075次方-1)-10/3=9.507圈。”

　　赛诺注意到荷官要动手了，开口道：“我们来实战应用吧。”
　　赛诺的眼底倒映着球影，“球还剩几圈？带入刚才推出来的预测公式，当前球的周期是0.5秒/圈，因此球还剩9.5圈，再代入T=2e的-3t/20次方，解出剩余9.2秒球才脱离外轨。”
　　斯坦利和女士发现在这个时候，赛诺的计算已经快于荷官脱手而出的球了。

　　“由于球顺时针转了9.5圈，0.5×360°=180°，我知道球脱轨的位置是在定子参考点的正对面顺时针180°处。”
　　“再来，球落入转盘的时刻是9.2+2=11.2秒，转盘逆时针转动Ω×11.2=0.2×11.2=2.24圈=0.24×360°=86.4°。”
　　赛诺话音落下，斯坦里和女士可以看见，0号格晚一步从参考点逆时针移动了86.4°。

　　“球落在定子180°顺时针的位置。转盘0号格在86.4°逆时针的位置。两者转向相反，我计算球相对0号格的位置180°+86.4°=266.4°，360°/38约等于9.47°，所以球会落在0号隔起算的266.4°/9.47°=28.131°，也就是第28格。”
　　球喷出外轨，“美式轮盘从0起算的逆时针排列是0 , 28, 9, 26, 30, 11, 7, 20, 32, 17, 5, 22, 34, 15, 3, 24, 36, 13, 1, 00, 27, 10, 25, 29，12，8，19，31，18，6，21，33，16，4，23，35，14，2。”

　　球滚落时，几乎和赛诺的声音同步，“因此球会落在轮盘左下方，距0和00大约四分之三圈处、31和6之间的——”　　“18。”

　　斯坦利和女士安静地看着不偏不移落在18隔间的球。
　　“！”
　　“。”

　　然后——
　　斯坦利：“怎么了，笑什么，这么开心？”
　　“没什么，不过说真的，我都被自己想法震撼到了，重罪啊简直。”

作者有话说

　運に流されず冷静さを保ち、自分には負担できない損失を伴うゲームには手を出さない09
　? ? ?
　「天才と狂人は紙一重だ」という言葉を、ゼノは聞き飽きていた。
　「ルーレットの弾道予測については、私が冪乗則から考え始めなければならないことをご理解いただきたい。冪乗則の形式はy=ax?であり、これは単一の理論から導き出されたものではなく、人類が自然現象を観察して発見した普遍的なパターンである。最も初期の応用例はケプラーの第三法則だ。彼は惑星の公転周期Tと軌道半径rの関係において、T?がr?に比例することを発見した――そしてニュートンは万有引力の法則から、これがべき乗関係であることを導き出した。」
　「なぜ自然界には至る所に冪法則が存在するのでしょうか？その核心的な理由は『スケール不変性（scale invariance）』にあります。あるシステムが異なるスケール下でも同様の振る舞いをする場合、数学的には必然的に冪の形式が導き出されます。では、どの関数f(x)がスケール変換の下で不変であるかを分析してみましょう。すぐに、この条件を満たす唯一の関数は冪関数f(x)=ax?であることが分かる。指数関数も対数関数もこの性質を持たないが、なぜだろうか？これは具体的な数値で検証する必要がある。冪関数f(x)=ax?――この式は、入力をλ（ラムダ）倍に拡大すると、出力もそれに伴って一定のλ?倍に増幅され、この比例関係はx自体の大きさによって変化しない。f(x)=x?、λ=3として計算すると、f(3x)=(3x)?=9x?=3?×f(x)となる。つまり、x=1であってもx=100であっても、入力を3倍に増幅すれば、出力は常に9倍に増幅される。この比例関係が明らかに一定であることが分かる。」
　「なぜ指数関数は適さないのか？係数がxに比例して爆発的に増加するため、固定された比率が得られないからだ。対数関数に至っては、比率が全く固定されていない。累乗関数について触れた理由は、ルーレットの玉の応用において、玉の減速には空気抵抗と摩擦力が関与しているからだ。物理学上、空気抵抗は速度の二乗に比例し、転がり摩擦は速度に比例する。これらはすべて累乗関係であり、組み合わせると角速度の減衰も累乗または指数構造を示すことになる。したがって、微積分の世界へようこそ。」
　「私は、ルーレットのボールの減速挙動が1次線形常微分方程式（ODE）に従うと仮定します。式はx(t)=Ae??+Cです。これはどういう意味でしょうか？まず最初に知っておくべきことは、微分方程式の定義です。それは、未知の関数とその導関数を含む方程式のことです。通常の代数方程式は未知数を求めます。例えば、x?-5x+6=0の場合、解はx=2またはx=3です。一方、微分方程式は未知の関数を求めます。例えば、dy/dx=yの場合、解はy(x)=Ce?であり、代入すると等式が成立します。ODEはOrdinary Differential Equationの略で、常微分方程式を意味します。その特徴は、未知関数が単一の独立変数しか持たないことです。こう言うのは、PDE（Partial Differential Equation、偏微分方程式）というものが存在するためです。その特徴は、未知関数が複数の独立変数を持ち、偏微分を含むことです。」
　「ルーレットのボール問題におけるx(t)は、時間tという単一の変数にのみ依存するため、ODEとなります。式はx(t)=Ae??+Cであると述べましたが、まずこの式をA=1/B×T(max)と見なします。Bとは、ルーレット上でボールが一周するのにかかる時間を記録して得られた一連のデータを指します。今のところ、私は肉眼でルーレットを観察することしかできません。次に、データに対数変換を施して線形回帰を行い、そこから得られる傾きがBとなります。」
　「線形回帰とは、1つまたは複数の独立変数と1つの従属変数との間の線形関係を記述するための統計手法である。平たく言えば、データの中から、すべてのデータ点からその直線までの距離の二乗和が最小となる直線または超平面を見つけることである。これは幾何学、代数、そして統計の問題であり。」
　「私が肉眼で観測したデータは全部で2つある。1つは計測開始からの累積時間（秒）、もう1つは現在の1周あたりの所要時間である。私が用いる計算方法は、最小二乗法（Least Squares Regression）だ。この方法は、ガウスとレジャンドルの天文学的な問題に由来する。レジャンドルは1805年、彗星の軌道研究において最小二乗法を初めて公表しましたが、それはあくまで計算上の技巧に過ぎませんでした。その後、ガウスは1795年から自らこの法を使用していたと主張しと主張し、1809年に理論的基礎を提示した。すなわち、誤差が正規分布に従うと仮定すれば、予測値と観測値の二乗和を最小にするのが最も妥当なパラメータ推定である。」
　「球の減速モデルは、減速率が時間とともに指数関数的に増加すると仮定している。式はT(τ)=T0×e^(Bτ)となる。これ自体は当然線形ではないが、両辺に自然対数を取ると、lnT=lnT0+Bτとなる。Y=lnT、X=τと置くと、Y=傾き(B)×X+切片(lnT0)となる。」
　ゼノは顔を上げ、ルーレットを観察しながら続けた。「ちょっと待って、今から観測してみる――」
　「今、観測するって？今この瞬間？」女性は驚きの声を上げた。「本気なの？」
　「そうだよ。他にどうすればいいんだ？ だって俺、コンピュータを持ってないんだし。」
　スタンリーは「君ももう、彼がそういう人間だってことに慣れたはずだ。」
　「累積時間が0.97秒、周期が0.35秒、切片が-1.050、これを類推して、得られた傾きBは約3/20＝0.15。ああ、つまり、1秒ごとに、ボールの周期に定数eの0.15乗を掛けた値が約1.16になる、つまり毎秒約16％減速するというわけだ。」
　「元の式A=1/B×T(max)に戻ろう。ここでT(max)について議論する。T(max)とは、ボールが軌道から外れる臨界速度のことだ。つまり、ボールの周期が一定の値を超えると、遠心力だけでは軌道上に維持できなくなり、ボールは自然に落下してしまう。この部分も純粋な物理的観察であり、誤差は完全に私やスタンリーの目によるものだ。」
　「だいたい2秒くらいかな」とスタンリーは言った。
　「2秒なら、秒あたり約0.5回転だね」とゼノは考えた。「これでA=1/B×T(max)に代入して、Aの値を求められますね。」
　「A=1/(3/20)×2=1/(3/10)=10/3」とゼノは言った。「しかし、これはあくまで初期の近似値に過ぎない。T(max)はルーレットの型式や摩耗の程度によって影響を受けるため、Aの値もそれに伴って変化するのは確実だ。」
　「最も基本的な式 x(t) = Ae^(-t) + C に戻りましょう。C を求めるのは簡単です。ボールが停止しようとしているとき、残りの時間 t = 0 であり、残りの周回数も 0 になるはずです。x(0) = A × e? + C = A + C = 0 となるため、C = -A =-10/3 となります。」
　「予測式に必要な、球の運動方程式の理論モデルである基本式ABCの数値が得られました。予測式は、球が1周するのにT秒かかる場合、格子に落ちるまでにあと何周残っているかを予測するものです。ここで、基本式の微分を行いますが、ここでは1/(e?-1)(Planck分布)を使用します。プランクは1900年、黒体放射を説明するために、この式を初めて導き出した。これは、温度Tにおいて、周波数ωの量子状態が平均して占められている光子の数を表すものである。」
　「x(t)=10/3(e?????-1) であり、球の瞬間角速度dx/dt=1/2e????? である。周期 T は角速度の逆数であるため、T=1/(dx/dt)=2e??π/??となる。さらにtを解いて元の式に代入し、Tに置き換えると、20/3T-10/3が得られる。具体的な数値を代入して検証すると、T=0.5秒のとき、20/(3×0.5)-10/3=10周となる。しかし、これは球の運動を積分として 扱ったものである。ここで修正を加える。1周が離散的なジャンプであり、Tが比較的大きい、つまり球の速度が遅い場合、予測値は大きく異なることになる。Tが非常に小さい場合はほぼ一致する。したがって、1/(e^(0.075?-1)) -10/3 = 9.507周となる。」
　ゼノはディーラーが手を動かしそうだと気づき、再び口を開いた。「さあ、実戦に応用してみよう。」
　ゼノの瞳にはボールの影が映っていた。「あと何周残っている？ 先ほど導き出した予測式に代入すると、現在のボールの周期は0.5秒/周だ。したがって、あと9.5周残っている。さらにT=2e^(-3t/20)を代入して解くと、残り9.2秒でボールが外周軌道から外れることになる。」
　スタンリーと女性は、この時点でゼノの計算が、ディーラーがボールを放出する速度よりも速くなっていることに気づいた。
　「ボールは時計回りに9.5周した。0.5×360°=180°だ。つまり、ボールが軌道から外れる位置は、原点から見て時計回りに180°の地点だと分かる。」　「さらに、ボールがルーレット盤に落ちたのは9.2＋2＝11.2秒後だ。ルーレット盤は反時計回りにΩ×11.2＝0.2×11.2＝2.24回転した。＝0.24×360°＝86.4°。」
　スタンリーと女性は、ゼノの言葉が終わると、0番のマス目が基準点から反時計回りに86.4°移動したのを目にした。
　「ボールはステーターの180°時計回りの位置に落ちた。ターンテーブルの0番の区画は反時計回りに86.4°の位置にある。両者の回転方向は逆であるため、ボールが0番の区画に対して180°＋86.4°＝266.4°の位置にあると計算した。360°÷38は約9.47°となるため、ボールは0番の区画から数えて266.4°÷9.47°＝28.131°の位置に落ちる(0から数えて28番目のマス)。」
　ゼノはボールが外側のレールから飛び出すのを見た。「アメリカンルーレットの0を起点とする反時計回りの配置は0、28、9、26、30、11、7、20、32、17、5、22、34、15、3、24、36、13、1、00、27、10、25、29、12、8、19、31、18、6、21、33、16、4、23、35、14、2。」　ボールが転がり落ちる音は、ゼノの声とほぼ同期していた。「したがって、ボールはルーレット盤の左下、0と00から約4分の3周離れた、31と6の間の――」
　「――18！」
　スタンリーと女性は、18のポケットに正確に収まるボールを静かに見つめていた。
　「！」
　「。」
　そして――
　スタンリー「そんなに嬉しそうに笑うなんて？」
　「別に。でも正直、自分の考えに自分でも驚いたよ。重罪だわ、本当に。」