《反觑自身[石纪元 烟叉]》Xavier26

14、不要玩自己无法承受损失的游戏14 在运气面

　　在运气面前保持清醒不要玩自己无法承受损失的游戏14

　　“哦......我有点紧张。”赛诺回答。
　　“这又不是你第一次现场观察后直接计算下注。”斯坦说，“你不相信你自己吗。”

　　“不是第一次尝试计算最佳开枪时机，而因此感到紧张的这个原因。我只是在想，这涉及到除了我以外的第二个人——你。”
　　“如果只有我，当计算出了正确的开枪时机，但因为自己操作失误而输掉赌注，我不会觉得有什么；但如果是我计算失误，而害你操作失误输掉赌注，我会难过一阵子吧。”

　　“你真是个怪人。”斯坦开口，“一开始信誓旦旦说要参赛的是你，现在反复无常的也是你。再说了——虽然我不想做这种假设，但比起你计算失误的这种可能性，我开枪射偏的可能性，照理来说应该远大于你，毕竟场内的变故太多了，还有，我一直想问一件事情。”

　　“什么？”赛诺问。
　　“你当初为什么会有’我喝醉了没关系，因为还有你，但你喝醉了我们就完蛋了’这种想法？”

　　“因为我是负责动脑的，有我怎么输，没我怎么赢？”赛诺困惑地道。
　　斯坦：“确实，有我怎么输，没我怎么赢。”

　　赛诺动作顿了一下，“那倒是，不能没有你。”
　　斯坦利微笑，“现在告诉我，你需要什么。”

　　赛诺眨了眨眼睛，“我需要你在下场前，判断出这局你和对手的实力落在什么地方。也就是说，我需要你和对方在这场赛局的实力差距，或是在这场赛局中，你和对手两个实力，是否是‘不相上下’的这件事情。”
　　“这就是我的需求。”

　　“我知道了。”斯坦回答，“等我消息。”
　　“你们准备好了吗？”那位女士走过来问两人，“我这边的赛马下注完成了，我带你们过去射击场吧。”

　　? ? ?
　　“让你朋友从这里进去射击场，在暖身区可以先见到有要上场的被下注对象。”女士对赛诺说。
　　“你听见了吗？”赛诺问身边的斯坦，“正常发挥！”
　　“嗯。”斯坦利往暖身区的地方走去，“你也是正常发挥。”

　　“哎，你们刚才的对话我都听见了。”女士带赛诺往观众席走去，“为什么要先判断对手的实力，事实上，射击场上方的大看板一开始就会公告被下注对象的代号、初始命中率、是初次参赛的菜鸟还是多次参赛的老手哦。”
　　赛诺思考道“如果是放在平常，被要求去计算不认识两个押注对象的胜率，我一定就是单纯参考官方数据作为辅助，但是这次嘛——还是交给专业人士吧。”

　　“你朋友是专业人士吗？”
　　“呃，在某种层面上是吧？毕竟在场除了斯坦之外，应该是没有人可以凭一些惯性动作和直觉去判断对手的实力，除非会看面相或通灵？反正如果是我参赛的话，绝对做不到。”

　　女士带着赛诺坐道了一个看到场内全景的位置，“你朋友听上去很厉害。”
　　“是啊。”赛诺坐下，翻开计算纸，“好了，斯坦在暖身，我也来认真暖身一下。”

　　女士：“暖身什么？”
　　赛诺按开原子笔，“Minimax Theorem告诉我，最优策略发生在没有任何一方能透过单方面改变策略，来改善自己处境的时刻。即三种情况的报酬值相等。”

　　赛诺在计算纸上列下公式，“第一种报酬函数，A在B之前扣下扳机，此时只有A的命中率决定结果。A打中，A赢+1。A打空，B从容到终点必中，A输-1。公式是f(T)=2pa(T)-1。”
　　“第二种报酬函数B先扣下板机，此时只有B的命中率决定结果，B打中，A输-1，B打空，A从容到终点必中，A赢+1，公式是f(T)=1-2pb(T)。第三种报酬函数AB同时开枪，A中B中平局为0。A中B未中，A赢+1。A未中B中，A输-1。A未中B未中平局为0。”
　　“这三种报酬函数覆盖了决斗中所有可能发生的开枪顺序，不可能出现第四种可能，否则均衡不成立。从第一个等号整理公式2pa(T)-1=1-2pb(T)=pa(T)-pb(T)，取左边两项2pa(T)-1=1-2pb(T)，移项2pa(T)+2pb(T)=2，两边除以2，pa(T)+pb(T)=1。”

　　赛诺翻开下一页计算纸，“从第二个等号整理公式，取右边两项1-2pb(T)=pa(T)-pb(T)，移项1-pb(T)=pa(T)，即pa(T)+pb(T)=1，两个等号相互印证。”
　　“也就是说，无论实力差距多大，双方命中率加总等于1的那刻，将会构成赛局的Saddle Point成立。决斗游戏的最优策略永远是在pa(T)+pb(T)=1时同时开枪，实力差距决定了赛局价值，但无法透过任何策略改变这个结果。”

　　“虽然你之前计算都不是在开玩笑。”女士观察着赛诺的侧脸，“不过你这次特别谨慎的感觉？”

　　“啊。”赛诺抬头看向场内，“因为这次我只想赢。”
　　“赛诺。”斯坦利的声音从耳机里传了过来，“第一局我的初始命中率是40%，距离对手越接近，每秒将会增加0.6%的命中率。对手的初始命中率是10%，对手距离我接近，每秒将会增加0.9%的命中率。我们两个的距离是从50公尺开外的地方，开始互相走近。”

　　斯坦利掐断了通讯，赛诺翻开下一页计算纸，握笔列下两条命中率函数——p对手(t)=0.1+0.9t/100，和p斯坦(t)=0.4+0.6t/100。

作者有话说

　運に流されず冷静さを保ち、自分には負担できない損失を伴うゲームには手を出さない14
　「ああ……ちょっと緊張してるんだ」とゼノは答えた。
　「現場を見てから直接賭け金を計算するのは、これが初めてじゃないだろう」とスタンは言った。「自分を信じていないのか」
　「最適な発砲のタイミングを計算するのは初めてじゃない。それで緊張しているわけじゃないんだ。ただ、これには僕以外のもう一人――君が関わっているからさ。」
　「もし僕一人だけなら、正しい発砲のタイミングを計算したのに、自分の操作ミスで賭けに負けても、別に気にならない。でも、僕の計算ミスで君の操作ミスにつながり、賭けに負けてしまったとしたら、しばらくは気分が落ち込むだろうな。」
　「君は本当に変わった奴だ」とスタンは口を開いた。「最初、出場すると断言したのは君だ。今、気まぐれなのは君の方だ。それに――こんな仮定はしたくないが、君の計算ミスという可能性に比べれば、僕が撃ち外す可能性の方が、理屈の上でははるかに高いはずだ。何しろ場内では予期せぬ事態が多すぎるし、それから、ずっと聞きたかったことがあるんだ。」
　「何だ？」ゼノが尋ねた。
　「なぜ君は、あの時『僕が酔っ払っても大丈夫、君がいるから。でも、君が酔っ払ったら終わりだ』なんて考えていたんだ？」
　「俺は頭を使う役目だからさ。俺がいれば負けるわけないし、俺がいなければ勝てるわけがないだろ？」ゼノは困惑した様子で言った。　スタン「確かに、俺がいれば負けるわけがないし、俺がいなければ勝てるわけがない。」
　ゼノの動きがわずかに止まった。「そうだな、お前なしじゃダメだ。」
　スタンリーは微笑んだ。「さあ、何を必要としているのか教えてくれ。」
　ゼノはまばたきをした。「次の試合の前に、この一戦における君と相手の力量がどのレベルにあるかを判断してほしい。この試合における君と相手の実力差、あるいはこの一戦において、君と相手の力量が『互角』かどうか、そのことを知りたいんだ。」
　「それが俺の要望だ。」
　「わかった」とスタンリーは答えた。「連絡を待ってくれ。」
　「準備はいい？」その女性が二人のところへやって来て尋ねた。「こっちの競馬の賭けは終わったから、射撃場へ連れて行くわ。」
　? ? ?
　「お友達にはここから射撃場に入って、ウォームアップエリアで、これから登場する賭けの対象となる選手たちを先に見ておいてもらうわ」と、女性はゼノに言った。
　「聞こえたか？」ゼノは隣のスタンに尋ねた。「いつもの調子でやれ！」
　「うん」スタンリーはウォームアップエリアの方へ歩き出した。「君も普段通りにやってくれ。」
　「あら、さっきの会話、全部聞こえてたわよ」女性はゼノを観客席へと案内しながら言った。「なぜわざわざ相手の実力を先に判断する必要があるの？ 実は、射撃場の上にある大きな看板には、賭けの対象となる選手のコードネームや初期命中率、初出場の新人か、何度も出場しているベテランかといった情報が、最初から表示されているのよ。」
　ゼノは考えた。「普段なら、知らない賭け対象二人の勝率を計算しろと言われても、私は単に公式データを参考にするだけだろう。でも今回は……プロに任せることにしよう。」
　「あなたの友人は専門家なの？」
　「えっと、ある意味ではそうかな？だって、この場にいる人の中で、スタン以外には、ちょっとした仕草や直感だけで相手の実力を判断できる人はいないはずだ。顔相を見たり霊能力を使ったりできる人なら別だけど？とにかく、僕が参加するとなると、絶対に無理だ。」
　女性はゼノを連れて、会場全体が見渡せる場所へと案内した。「あなたの友人は、かなりすごい人のようですね。」
　「ああ。」ゼノは座ると、計算用紙を開いた。「よし、スタンがウォームアップしてるから、僕も真剣にウォームアップしよう。」
　女性「ウォームアップって何？」
　ゼノはボールペンのキャップを外した。「ミニマックス定理によれば、最善の戦略とは、どちらの側も一方的に戦略を変えて自分の状況を改善できない瞬間に生まれる。つまり、三つの状況の報酬値が等しくなる時だ。」
　ゼノは計算用紙に式を書き出した。「第一の報酬関数。AがBより先に引き金を引く場合、この時はAの命中率のみが結果を決定する。Aが命中すれば、Aの勝ちで+1。Aが外せば、Bは余裕を持ってゴールし確実に勝利するため、Aの負けで-1。式はf(T)=2pa(T)-1となる。」
　「第二の報酬関数：Bが先に引き金を引く。この場合、結果を決定するのはBの命中率のみである。Bが命中すればAは負け（-1）、Bが外せばAは余裕を持ってゴールし必ず命中するためAは勝ち（+1）。式はf(T)=1-2pb(T)となる。第三の報酬関数では、AとBが同時に発砲する。Aが命中しBも命中した場合は引き分けで0。Aが命中しBが外れた場合はAの勝ちで+1。Aが外れBが命中した場合はAの負けで-1。AもBも外れた場合は引き分けで0。」
　「これら3つの報酬関数は、決闘において起こりうるすべての射撃順序を網羅しており、4つ目の可能性が生じることはあり得ない。そうでなければ均衡は成立しない。最初の等式から式を整理すると、2pa(T)-1=1-2pb(T)=pa(T)-pb(T)となる。左辺の2項を取り出して2pa(T)-1=1-2pb(T)とし、項を移動して2pa(T)+2pb(T)=2とする。両辺を2で割ると、pa(T)+pb(T)=1となる。」
　ゼノは計算用紙の次のページをめくった。「二つ目の等号から式を整理し、右辺の2項1-2pb(T)=pa(T)-pb(T)を取り出し、項を移動して1-pb(T)=pa(T)とする。すなわちpa(T)+pb(T)=1となり、二つの等号が互いに裏付け合う。」
　「つまり、実力の差がどれほど大きくても、双方の命中率の合計が1となる瞬間、ゲームのサドルポイントが成立するというわけだ。決闘ゲームの最適戦略は、常にpa(T)+pb(T)=1の時点で同時に発砲することであり、実力の差がゲームの価値を決定するが、いかなる戦略によってもこの結果を変えることはできない。」
　「以前の計算も冗談ではなかったけれど」女性はゼノの横顔をじっと見つめた。「でも今回は、特に慎重になっている気がするわ？」
　「ああ」ゼノは顔を上げ、会場内の大きな看板を見つめた。「今回はただ勝ちたいだけだから。」
　「ゼノ。」スタンリーの声がヘッドセットから聞こえてきた。「第1ラウンド、私の初期命中率は40%。相手との距離が近づくにつれ、毎秒0.6%ずつ命中率が上昇する。相手の初期命中率は10%。相手が私に近づくと、毎秒0.9%ずつ命中率が上昇する。我々の距離は50メートル以上離れており、そこから互いに近づいていく。」
　スタンリーが通信を切った。ゼノは計算用紙の次のページをめくり、ペンを握って二つの命中率関数を書き出した――p(t) = 0.1 + 0.9t/100（相手）と、p(t) = 0.4 + 0.6t/100（スタンリー）。