《余弦信》柑尽

4、微分社交距离

　　周一早自习的铃声还没响，陆屿已经坐在了教室里。

　　他的课桌上摊开三本书:《信息论基础》《常微分方程》《几何原本》。书页边缘贴着彩色索引贴，不同颜色代表不同的重点等级——蓝色是核心公式，绿色是推导过程，黄色是应用案例。

　　同桌张远凑过来看了一眼，咋舌:“你预习到哪儿了？这周数学课不是才讲三角函数吗？”

　　“随便看看。”陆屿头也没抬，用红色水性笔在《信息论基础》第47页的公式旁写下一行注解：“KL散度非对称性 →理解的不对等性”。

　　他的笔尖停顿了一下，又补充：“但若以Jensen-Shannon散度衡量，则可获得对称度量。或许更接近人际理解的本质？”

　　“你在说什么啊……”张远挠挠头，“对了，听说周浅周末去你家了？”

　　陆屿的笔尖在纸上戳出一个小点:“她来送点心。”

　　“就送点心？没聊点别的？”

　　“聊了数学作业。”

　　张远一脸“我不信”的表情，但看陆屿没有继续说的意思，只好转回去读自己的英语单词。

　　陆屿合上《信息论基础》，翻开数学作业本。上周五交上去的作业已经发回来了，老师在最后一题旁用红笔批注：“思路新颖，但证明过程不够严谨，扣2分。”

　　那道题是证明:当两个函数的导数在区间内始终相等时，这两个函数至多相差一个常数。

　　陆屿当时写的证明用了微分方程的思想，但省略了两个中间步骤。他盯着那行批注看了几秒，从笔袋里拿出修正带，涂掉原来的证明，准备重写。

　　但翻开作业本第一页时，他愣住了。

　　在他写的“明天下午四点，继续验证。陆屿。”那行字下面，多了一行新的铅笔字:

　　“验证结果：重叠面积= (2√2)/π ≈ 0.900。最大值在相位差=π/4时取得。但这是理论值，实际需要修正因子。林柚。”

　　字迹工整得像是用尺子比着写的，每个数字和符号都精确得像印刷体。但在“修正因子”四个字下面，有一条轻微的波浪线，像是写的时候笔尖颤抖了一下。

　　陆屿盯着这行字看了很久。

　　她是什么时候写的？周五放学后？还是周末来学校了？她怎么进到(3)班教室的？她坐在他的座位上，用他的笔——不，她自带铅笔，笔芯硬度应该是HB，线条均匀——在他的作业本上写下这些。

　　这个认知让陆屿的心脏漏跳了一拍。

　　不是生气，也不是困扰，而是……一种奇怪的兴奋感。就像解一道题时，突然发现题目里隐藏了一个更深的层次，一个之前没有察觉到的维度。

　　他拿起自动铅笔，在那行字下面写道：

　　“修正因子应考虑信息传输损耗。设信号衰减系数α，噪声功率σ²，则实际重叠面积=理论值× (1-α) / (1+σ²)。需实验测定α和σ²。”

　　写完，他想了想，又加了一句：

　　“另：进入他人教室需谨慎。今日值日生为张远，他有洁癖，若发现座位被‘入侵’，会擦三遍桌子。”

　　早自习铃响了。班主任走进来，教室里瞬间安静。陆屿合上作业本，塞进桌肚，但指尖还残留着写字时的触感——纸张的纹理，笔尖的硬度，还有那些数字和公式在脑海中形成的清晰图像。

　　上午第二节是数学课。老师讲解三角函数的和差化积公式时，陆屿在笔记本上画了两条余弦曲线。

　　一条y=cos(x)，一条y=cos(x+π/4)。

　　他用阴影标出它们在一个周期内的重叠区域，然后快速计算面积。笔尖在纸上滑动，数字一个个跳出来……没错，确实是(2√2)/π。

　　约等于0.9。

　　90%的重叠度。

　　如果这代表理解程度，那已经是相当高的数值了。但林柚说得对——这是理论值。现实中，信息在传输过程中会有损耗，会有噪声干扰，会有误解和误读。

　　就像那面墙上的字。理论上，光线会在每天下午四点以正确角度照射，字迹会显现。但如果那天多云呢？如果墙前站了人挡住光线呢？如果——

　　“陆屿。”

　　数学老师的声音把他拉回现实。

　　“你上来解一下这道题。”

　　陆屿站起身，走向黑板。题目是关于三角函数最值的问题，他扫了一眼就看出关键：需要利用sin²θ+cos²θ=1进行代换，然后配方。

　　粉笔在黑板上发出清脆的敲击声。他写得很快，步骤清晰，最后得出答案：最大值为√5，当sinθ=2/√5时取得。

　　“很好。”老师点头，“思路清晰。不过这里可以更简洁一些——大家看，陆屿用了配方法，其实也可以用柯西不等式直接得到……”

　　陆屿回到座位时，注意到周浅回头看了他一眼。她的眼神里有某种复杂的东西——欣赏，也许还有一点不甘。周浅的数学也很好，但她的好是“正确”的好，是严格按照老师教的方法解题的好。而陆屿的好，是“理解”的好，是看到题目背后的结构，然后选择最本质的路径。

　　这是两种不同的思维方式。

　　就像两条余弦曲线，周期相同，振幅相同，但相位不同。

　　下课后，周浅果然走了过来。

　　“陆屿，刚才那道题，你用柯西不等式的话，是不是步骤更少？”

　　“会少两步。”陆屿说，“但配方法更容易想到。”

　　“也对。”周浅笑了笑，从身后拿出一个精致的纸盒，“对了，我妈妈周末做了新的点心，抹茶味的。你尝尝？”

　　纸盒打开，里面是整齐排列的抹茶曲奇，每一块都做成樱花形状，边缘镶着白色的糖霜。看起来花了很大功夫。

　　“谢谢。”陆屿说，“但我最近在控制糖分摄入。”

　　“就一块。”周浅拿起一块，递到他面前，“我妈妈特意交代要给你。她说你一个人住，要多补充营养。”

　　周围几个同学看了过来。张远在陆屿身后挤眉弄眼。

　　陆屿接过曲奇，但没有吃，只是放在课桌上：“替我谢谢阿姨。”

　　周浅的笑容淡了一些，但很快又恢复：“好。对了，这周五的数学小组，你准备了什么主题呀？我听说是讲信息论？”

　　“嗯。”

　　“好深奥啊……我周末查了一下资料，完全看不懂。”周浅眨眨眼，“你能不能提前给我讲讲？今天放学后，去图书馆？”

　　“今天我有事。”陆屿说。

　　“什么事啊？又是旧教学楼那边？”周浅的语气里带上了一点试探。

　　陆屿看了她一眼：“嗯。”

　　一个字，没有解释，没有延伸。就像一道数学题的答案，只有结果，没有过程。

　　周浅的笑容终于维持不住了。她咬了咬下唇，轻声说：“好吧。那……明天呢？”

　　“明天也有事。”

　　“后天？”

　　“后天数学小组就活动了。”陆屿说，“到时候一起讨论吧。”

　　这是拒绝，但用了一种礼貌的、无法反驳的方式。周浅点点头，转身离开时，脚步有些快，马尾辫在脑后甩出一个生硬的弧度。

　　张远凑过来，压低声音：“哥们，你这样太伤人了吧？周浅对你多好啊。”

　　“好和合适是两回事。”陆屿说。

　　“怎么不合适了？她长得漂亮，成绩好，家里条件也好，她妈妈还总给你送吃的……”

　　“我对抹茶过敏。”陆屿说。

　　张远愣住了：“真的假的？”

　　“真的。”陆屿面不改色地撒谎，“小时候吃过一次，全身起疹子。”

　　其实他根本不知道自己对抹茶过不过敏。但他知道，有时候你需要一个足够强硬的理由，来划定一条清晰的边界。

　　就像数学里，定义域之外的点，再漂亮也没有意义。

　　上午最后一节是体育课。男生测引体向上，女生测仰卧起坐。陆屿做了十二个，刚好及格。从单杠上下来时，他看见林柚在跑道那边。

　　她正在测仰卧起坐。体育老师半蹲在旁边数数：“……四十七，四十八，四十九，五十！好了，优秀！”

　　林柚坐起身，额头上有一层细密的汗珠。她的校服衬衫下摆从裤腰里跑出来一点，露出一截白皙的腰线。她随手把下摆塞回去，动作自然得像呼吸。

　　陆屿移开视线，去拿自己的矿泉水。

　　但刚拧开瓶盖，就听见周浅的声音：“林柚，你好厉害啊！我做到三十个就不行了。”

　　林柚正在系鞋带，头也没抬：“多练练就好了。核心力量上去了，做起来就轻松。”

　　“你是怎么练的？去健身房吗？”

　　“在家做平板支撑。”林柚站起身，拍了拍手上的灰，“每天三组，每组一分钟。”

　　“哇，好有毅力。我就不行，坚持不了几天就放弃了。”周浅笑得很甜，“对了，你加入数学小组了吧？感觉怎么样？陆屿讲得是不是特别难懂？”

　　来了。陆屿心想。

　　林柚系好鞋带，直起身。她的表情很平静：“还好。他讲得很清楚。”

　　“真的吗？我听说他要讲信息论，吓死了，那东西多抽象啊。”周浅歪着头，“不过你数学那么好，肯定能听懂。我就不行了，到时候可能要一直问你问题，你不会嫌我烦吧？”

　　“不会。”林柚说，“但我也不一定都会。”

　　“你太谦虚了。”周浅挽住林柚的手臂，“走吧，去洗手间洗把脸，热死了。”

　　她们并肩走向教学楼。陆屿看着她们的背影，注意到林柚的手臂有些僵硬——她不习惯被人这样挽着。

　　但他也注意到，林柚没有抽回手。

　　她选择容忍，而不是冲突。这是一种策略，一种计算过成本效益之后的决策。

　　聪明。陆屿想。

　　下午的课陆屿有些心不在焉。化学老师讲解离子反应时，他在笔记本边缘画坐标系。横轴是时间，纵轴是“社交距离”。

　　他画了两条曲线。

　　一条代表周浅——从高一开始就迅速接近，在短时间内达到很小的距离值，但之后波动剧烈，时而靠近，时而疏远。就像一条高频振荡的曲线，振幅大，频率高，能量消耗大。

　　另一条代表林柚——起始距离较大，但缓慢而稳定地减小。曲线平滑，几乎单调递减，斜率恒定。就像一条收敛的级数，虽然慢，但方向明确。

　　哪种更好？

　　陆屿不知道。但他知道，高频振荡的曲线更容易产生疲劳，更容易在某个峰值后崩溃。而平滑收敛的曲线，虽然耗时更长，但更稳定，更持久。

　　就像解数学题。有些人喜欢用技巧快速得到答案，但技巧用多了会形成依赖，遇到新问题就束手无策。有些人喜欢从基本原理出发，一步步推导，虽然慢，但每一步都扎实，最终能建立起完整的理解体系。

　　陆屿属于后者。

　　所以他理解林柚的选择——容忍，观察，计算，然后在一个合适的时机，做出最有效的反应。

　　而不是像周浅那样，用情绪驱动行为，用直觉代替思考。

　　放学铃声响起时，陆屿看了眼手表：15:30。

　　还有三十分钟。

　　他收拾好书包，走出教室。走廊里挤满了急着回家的学生，嘈杂的人声像潮水一样涌来。陆屿逆着人流，走向旧教学楼的方向。

　　走到半路，他想起什么，转身去了小卖部。

　　小卖部的阿姨认识他：“陆屿啊，今天要什么？还是矿泉水？”

　　“蓝莓酸奶。”陆屿说，“两瓶。”

　　阿姨愣了一下，然后笑了：“请同学喝啊？真少见。”

　　陆屿没解释，付了钱，把两瓶酸奶塞进书包侧袋。酸奶瓶冰凉，隔着帆布面料也能感觉到温度。

　　走到旧教学楼时，时间是15:48。

　　林柚已经到了。

　　她背靠着那面墙，手里拿着一本笔记本，正在看什么。夕阳的光线已经开始移动，但还没到达那个特定角度。她的侧影在昏黄的光线里显得很柔和，马尾辫松松地垂在肩上。

　　陆屿走过去，脚步声在青石板上发出轻响。

　　林柚抬起头：“提前了十二分钟。”

　　“你也一样。”陆屿说。

　　“我想早点来，看看光线移动的过程。”林柚合上笔记本，“从完全隐形，到逐渐显现，再到完全清晰——这个过程本身就有研究价值。”

　　陆屿在她旁边坐下，中间隔着一本书的距离。“你计算出那个修正因子了吗？”

　　“还没有。”林柚从书包里拿出一个计算器，“但我做了模拟。假设信息传输损耗服从指数衰减，噪声服从高斯分布，那么修正因子可以表示为一个积分式。”

　　她把计算器屏幕转向陆屿。上面显示着一行复杂的表达式：

　　∫₀^{2π} e^{-αx} cos(x) cos(x+π/4) dx / (1+σ²)

　　“这是……”陆屿接过计算器，“你把衰减和噪声效应直接整合进重叠面积的计算了？”

　　“嗯。但问题在于，α和σ²怎么确定？”林柚看向他，“这两个参数需要实验数据。而我们没有数据。”

　　陆屿沉默了一会儿。

　　然后他说：“也许实验正在进行。”

　　林柚眨了眨眼：“什么意思？”

　　陆屿从书包里拿出那两瓶酸奶，递给她一瓶：“现在开始记录。每次对话，都是一次信息传输。我们可以观察每次传输的效果，然后倒推参数值。”

　　林柚接过酸奶，手指碰到冰凉的瓶身。她看了陆屿一眼，眼神里有惊讶，也有……笑意。

　　“所以我们现在是实验对象？”她拧开瓶盖。

　　“观测对象。”陆屿也打开自己的那瓶，“实验需要控制变量，但我们无法控制。只能观测，记录，然后试图理解背后的规律。”

　　“就像天文学家观测星星。”林柚喝了一口酸奶，“无法干预，只能记录它们的位置、亮度、光谱，然后尝试推导出物理定律。”

　　“没错。”

　　他们沉默了一会儿，各自喝着酸奶。蓝莓的酸甜味在空气中弥漫开来，混着旧建筑特有的尘土气息。

　　时间一分一秒过去。

　　15:55。

　　光线开始接近那个关键角度。

　　陆屿站起身，走到那个特定的位置。林柚也站起来，站在他旁边。

　　他们并肩而立，看着墙。

　　“你在我作业本上写字了。”陆屿说。

　　“嗯。”林柚没有否认，“周五放学后，我回来拿落下的书，看见你们班门没锁，就进去了。你的座位很好认——桌面上只有三本书，摆成直角，间距相等。”

　　陆屿笑了：“强迫症。”

　　“秩序感。”林柚纠正，“我也一样。我的笔袋里，笔必须按颜色深浅排列。”

　　“铅笔的硬度呢？”

　　“从左到右，从6H到6B。”

　　陆屿转过头看她。她的侧脸在渐强的光线下显得很清晰，鼻梁挺直，下巴的线条干净利落。

　　“所以你也喜欢确定性。”他说。

　　“我喜欢可预测性。”林柚说，“但我也喜欢……可控的不可预测性。就像这面墙——我知道它会在四点显现字迹，但我不知道，当我站在这里时，会遇见谁，会说什么。”

　　“今天你遇见了我。”

　　“今天我遇见了你。”林柚重复了一遍，然后补充，“并且进行了第一次信息传输实验。实验内容：讨论修正因子的确定方法。传输媒介：对话。传输效果……”

　　她停顿了一下，似乎在思考如何量化。

　　陆屿帮她说完：“传输效果：初步建立了关于实验方法的共识。可以认为是一次有效传输。”

　　“同意。”林柚点头，“那么，第一次实验记录：时间，9月11日15:55-16:10；参与方，A(陆屿)，B(林柚)；传输内容，关于信息传输损耗与噪声参数的讨论；效果评级……”

　　她在笔记本上快速写着。陆屿看着她写字时微微颤动的睫毛，看着她专注的神情，忽然想起父亲说过的一句话：

　　“真正的数学家，是把整个世界都看成待解的方程式。”

　　也许父亲说得对。但也许，世界不仅仅是方程式——它还是方程式的解，是求解的过程，是那个在纸上写下“解：”时，心中涌起的期待与忐忑。

　　16:00整。

　　光线精准地切入。

　　墙上的字迹开始显现。先是那句英文，然后是陆屿写的回应。粉笔的反光在夕阳下闪烁着微弱但清晰的光芒。

　　林柚屏住呼吸。

　　每次看到这一幕，她都会这样——像是见证一个奇迹，一个只有在特定条件下才会发生的、短暂而珍贵的奇迹。

　　陆屿看着墙，但余光在看林柚。

　　他看着光线在她脸上移动，看着她的瞳孔因为专注而微微收缩，看着她的嘴唇无意识地抿紧。她的手里还拿着那瓶酸奶，瓶身上凝结的水珠正缓慢滑落，在夕阳下闪着细碎的光。

　　这一刻，陆屿忽然意识到一件事。

　　他不再仅仅是在观测一个实验对象。

　　他也在被观测。

　　他们互为观测者，互为实验对象，在同一个坐标系里移动，记录彼此的数据，试图理解彼此的规律。

　　就像两颗在引力作用下相互绕转的行星，既在观测对方，也被对方观测，既在施加影响，也承受着影响。

　　“相位差π/4。”林柚忽然说。

　　陆屿回过神来：“什么？”

　　“我在想，如果我们两个人的‘知识分布’是两条余弦曲线，那么现在的相位差是多少？”林柚转头看他，“需要设计一个测试。比如，各自写下对同一概念的理解，然后计算差异度。”

　　“现在就可以测试。”陆屿从书包里拿出两张纸，递给她一张，“写你对‘理解’的定义。五个关键词。”

　　林柚接过纸和笔，没有犹豫，直接开始写。

　　陆屿也写。

　　两分钟后，他们交换纸条。

　　陆屿写的是：共识，映射，可预测性，信息增益，相互修正。

　　林柚写的是：共鸣，翻译，可解释性，熵减，协同进化。

　　陆屿看着这五个词，大脑飞速运转。

　　共识 vs 共鸣——一个强调客观一致，一个强调主观感受。

　　映射 vs 翻译——一个强调结构对应，一个强调意义转换。

　　可预测性 vs 可解释性——一个强调对未来行为的预期，一个强调对当前状态的理解。

　　信息增益 vs 熵减——本质相同，但表述角度不同：一个关注获得，一个关注减少。

　　相互修正 vs 协同进化——一个强调纠错，一个强调共同成长。

　　“重叠度……”陆屿计算着，“大约60%。”

　　“我算的是65%。”林柚说，“考虑到用词差异，实际概念重叠度可能更高。但确实不是100%。”

　　“也不是0%。”陆屿说，“所以我们的相位差……既不是0，也不是π，而是一个中间值。”

　　“就像我们计算的，π/4左右。”林柚的眼睛亮起来，“所以理论模型和实际观测结果一致。”

　　陆屿看着她眼中闪烁的光芒，忽然理解了父亲说的“研究的快乐”——那种在混沌中发现规律，在无序中找到秩序的快乐。

　　这种快乐，比解出一道难题更深刻，比考到高分更持久。

　　因为它关乎理解，关乎连接，关乎两个孤独的意识在浩瀚的信息海洋中，找到了彼此的频率。

　　墙上的字迹开始模糊了。

　　16:07，粉笔字先消失。

　　16:09，刻痕也变得暗淡。

　　16:10，一切恢复原状。

　　但陆屿和林柚手里各拿着一张纸，纸上写着五个词，那些词定义了他们如何定义“理解”。

　　这就是一次信息传输。一次成功的、可记录的、可分析的信息传输。

　　“第二次实验记录。”林柚在笔记本上写，“时间，16:00-16:10；实验内容：关键词匹配测试；结果：相位差估计值≈π/4，与理论预测相符。”

　　她写完后，看向陆屿：“需要签名确认吗？实验记录人。”

　　陆屿接过笔，在下面写下：“观测确认。陆屿。”

　　然后他把笔递还给林柚时，手指碰到了她的指尖。

　　这一次，两人都没有立刻收回。

　　他们的手指在笔杆上停留了半秒，然后林柚接过笔，放进笔袋。动作自然，但陆屿注意到，她的耳尖微微发红。

　　“周五的数学小组，”林柚说，声音比平时轻了一些，“你真的要讲这个？关于……人际理解的信息论模型？”

　　“如果你觉得不合适，我可以换。”陆屿说。

　　“不。”林柚摇头，“我觉得很合适。但可能会……引起讨论。”

　　“比如？”

　　“比如周浅。”林柚直视他，“她会怎么想？”

　　陆屿沉默了一会儿：“她怎么想，是她的事。”

　　“但会影响实验环境。”林柚说得很冷静，“如果实验环境中存在干扰变量，实验结果就会失真。”

　　“那就记录干扰变量。”陆屿说，“把所有因素都纳入模型——主要变量，次要变量，干扰变量。一个完整的模型应该能处理这些。”

　　林柚看着他，然后笑了：“你真是一个……纯粹的理性主义者。”

　　“你不也是？”

　　“我是实用主义者。”林柚说，“理性是工具，不是目的。我的目的是理解——理解世界，理解他人，理解自己。”

　　“那我们的目的相同。”陆屿说，“只是路径不同。”

　　“所以我们可以……路径互补？”林柚问。

　　这个问题很微妙。它在问：我们是否可以合作？是否可以共同研究？是否可以不只是各自观测，而是真正地协同工作？

　　陆屿想了想，给出回答：“可以。但需要制定明确的合作协议。”

　　“比如？”

　　“比如数据共享。比如方法透明。比如……”陆屿停顿了一下，“尊重彼此的研究边界。”

　　林柚点头：“同意。那么，从今天开始，我们正式成为研究伙伴。”

　　她伸出手。

　　陆屿握住她的手。她的手比他的小，但握得很稳，掌心干燥，温度适中。

　　三秒钟后，他们同时松开。

　　“研究伙伴。”陆屿重复这个词，感觉它比“同学”更准确，比“朋友”更清晰。

　　它是一个有明确定义的关系，有明确的目标，有明确的边界。

　　就像数学里的一个集合，元素明确，运算规则明确。

　　“那么，研究伙伴，”林柚背起书包，“明天见。明天下午四点，继续实验。”

　　“实验内容是什么？”陆屿问。

　　“测定衰减系数α。”林柚说，“方法：连续三天在同一时间地点进行相同时长的对话，记录每次对话的信息传输效率变化。如果效率衰减，说明α>0。”

　　“如果效率增加呢？”

　　“那就更复杂了。”林柚说，“可能意味着我们在学习如何更有效地传输信息——就像调制解调器在训练中优化编码方案。”

　　这个比喻让陆屿笑了：“好。明天见。”

　　他们一起离开旧教学楼。走到分岔路口时，夕阳已经完全沉下去了，天空是深蓝色的，星星开始出现。

　　“你看。”林柚指着东方，“金星。启明星。”

　　“现在是傍晚，它是长庚星。”陆屿纠正，“但本质上都是金星，只是出现在不同的时间。”

　　“就像我们。”林柚说，“本质上都是……试图理解世界的人。只是用了不同的方法。”

　　陆屿看着她。夜色中，她的眼睛很亮，像藏着星星。

　　“明天见。”他又说了一次。

　　“明天见。”

　　林柚向左，陆屿向右。

　　走了几步，陆屿回头看了一眼。林柚也刚好回头。

　　他们在夜色中对视了一秒，然后各自转身，走进渐深的黑暗里。

　　陆屿把手伸进口袋，摸到了那张写着五个关键词的纸。纸张因为握得太紧而有些发皱，但他能感觉到上面的字迹——那是林柚的字，工整，清晰，像她的人一样。

　　研究伙伴。

　　一个恰当的定义，一个清晰的边界，一个可以放心投入而不必担心越界的合作关系。

　　但为什么，当他说出这个词时，心里有种奇怪的失落感？

　　就像证明了一个定理，却发现它排除了某些有趣的可能性。

　　就像计算出一个解，却发现它只是众多解中的一个特解。

　　陆屿摇摇头，把这些思绪甩开。

　　确定性。可预测性。清晰的边界。

　　这才是他需要的。这才是安全的。

　　就像那面墙——每天只有二十分钟的显现，其余时间都是沉默。但正因为有限，才显得珍贵。正因为有边界，才显得安全。

　　他加快脚步，走向家的方向。

　　口袋里，那张纸随着步伐轻轻摩擦着大腿，像是一个温柔的提醒：

　　研究已经开始。

　　实验正在进行。

　　而他们，是彼此最重要的观测对象，也是彼此最重要的实验伙伴。

　　这就够了。

　　至少现在，够了。