《余弦信》除夏

2、相位偏移

　　数学兴趣小组的第一次活动在周四放学后。

　　林柚推开物理实验室的门时，里面已经坐了十几个人。长方形的实验桌被拼成会议桌的模样，陆屿站在白板前，正在写今天的讨论主题：“最优化问题在实际生活中的应用”。

　　周浅坐在第一排，面前摊开一本精致的笔记本，封面上贴着卡通贴纸。看见林柚进来，她热情地招手：“这边有位置！”

　　林柚在她旁边的空位坐下。周浅很自然地凑近：“没想到你也对数学感兴趣，太好了，以后我们可以一起讨论题目。”

　　她的语气亲切自然，但林柚注意到，她说话时身体微微前倾，巧妙地挡住了林柚看向白板的直接视线。

　　陆屿写完主题，转过身：“人差不多到齐了。我是陆屿，这学期负责小组的日常活动组织。首先欢迎各位通过初步筛选加入兴趣小组。”

　　他的目光扫过整个教室，在林柚身上停留了半秒，然后自然地移开。

　　“在开始正式讨论前，我想先做一个简单的调查。”陆屿拿起一叠便签纸分发给大家，“请每人写下一个自己认为数学能解决、但实际生活中尚未被完美解决的问题。匿名写，写完交上来。”

　　林柚接过便签纸，思考了片刻。

　　她写的是：“如何计算人与人之间产生深刻理解的最佳时机。”

　　写完后她有些后悔——这个问题太抽象，太不“数学”了。但已经来不及改，陆屿开始收便签纸了。

　　周浅交上去的便签上写着一行娟秀的字：“如何用数学模型预测一场考试的最高效复习方案。”很实际，很符合优等生的思维方式。

　　陆屿把所有便签贴到白板上，快速浏览了一遍。他的目光在其中一张便签上多停留了两秒——林柚认出那是自己写的那张。

　　“很有意思的合集。”陆屿说，“有人关心交通优化，有人关心资源分配，还有人关心……”他顿了顿，“人际关系的时间窗口。”

　　林柚低下头，假装整理书包侧袋。

　　“这其实引出了今天想讨论的核心。”陆屿用马克笔在白板上画了一个坐标系，“最优化问题的本质，是在约束条件下寻找目标函数的最大值或最小值。而现实生活中最大的约束条件，往往是时间。”

　　他在横轴上写下“时间”，纵轴上写下“理解程度”。

　　“假设两个人相遇，他们相互理解的程度会随时间变化。”陆屿画出一条递增的曲线，但曲线在达到某个点后开始趋于平缓，“问题在于，在哪个时间点投入交流，能获得最高的‘理解产出效率’？是越早越好吗？还是需要等待某个最佳时机？”

　　一个男生举手：“这可以用边际效用递减来解释吧？初期投入时间获得的收益增长很快，但超过某个点后，再投入更多时间，获得的理解增量就会变少。”

　　“没错。”陆屿在曲线上标出一个点，“理论上，最佳投入点应该在边际收益等于边际成本的位置。但问题在于，人际理解的‘收益’很难量化。”

　　周浅举手，声音清脆：“我觉得可以设定一些可观测的指标。比如共同话题的数量、对话的深度、相处时的舒适度……然后给这些指标赋予权重，建立一个综合评价函数。”

　　“很好的思路。”陆屿点点头，“但这里还有一个更根本的问题：两个人理解曲线的‘相位’可能不同步。”

　　他在同一个坐标系里画出第二条曲线。这条曲线起点稍晚，增长速度也不同，在某个区间与第一条曲线有交集，但很快又分道扬镳。

　　“如果一个人的理解能力在上升期，而另一个人已经进入平台期，那么他们的最佳交流窗口会非常短暂。”陆屿用笔尖点了点两条曲线重叠的区域，“错过了，就再难找到下一个交集。”

　　教室里安静下来。这个比喻太直观，直观到每个人都想起了自己生命中的某些错过。

　　林柚看着白板上的两条曲线，忽然明白了陆屿选择这个主题的用意——他在用数学的语言，描述那面墙的秘密。那道特定的光线，那个短暂的时间窗口，不就是一个“最佳时机”的物理具象吗？

　　“所以，”陆屿总结道，“最优化问题教给我们的不仅是计算技巧，更是一种思维方式：意识到资源有限，时机短暂，有些机会只有一次。而数学能做的，是帮助我们识别出那些关键时刻。”

　　活动结束时已经五点半。秋日的天黑得早，窗外已是暮色四合。

　　周浅收拾好东西，很自然地走到陆屿身边：“一起走吧？我妈妈今天做了蛋糕，让我带一些给你。”

　　“谢谢，但今天我值日，要锁门。”陆屿整理着白板上的便签，将其中一张小心地夹进笔记本里——林柚瞥见，正是她写的那张。

　　周浅的笑容僵了一瞬，但很快恢复：“那我等你呀，反正顺路。”

　　“可能会很晚，你先回去吧。”陆屿的语气礼貌但坚持。

　　“好吧。”周浅转向林柚，“那林柚，我们一起走？”

　　林柚本想拒绝，但周浅已经挽住了她的胳膊：“走吧走吧，天都快黑了，女生单独走不安全。”

　　她们离开教学楼时，林柚回头看了一眼。透过物理实验室的窗户，她看见陆屿独自站在白板前，还在看那些便签。昏黄的灯光在他身上镀了一层柔和的边缘，他整个人像是沉浸在一个与外界隔绝的数学世界里。

　　走到校门口，周浅忽然问：“林柚，你觉得陆屿怎么样？”

　　“什么怎么样？”

　　“作为数学小组的负责人呀。”周浅眨眨眼，“他很厉害对吧？我听他初中的同学说，他初中就拿过全国数学竞赛的一等奖。不过他家好像……有点复杂。”

　　“复杂？”

　　“嗯，具体我也不清楚，就是感觉他很少提家里的事。”周浅压低声音，“而且他对所有人都很有礼貌，但也很有距离感，你懂吗？就是那种……礼貌的疏离。”

　　林柚没有接话。她想起昨天在旧教学楼前，陆屿说起父亲刻字时的表情。那种平静下的暗涌，确实不是简单的“礼貌疏离”能概括的。

　　“对了，”周浅话锋一转，“你昨天和陆屿在旧教学楼那边聊了什么呀？我看你们好像聊了很久。”

　　“一些关于建筑和光线的事。”林柚选择了最中性的回答。

　　“哦……”周浅拖长了音调，没有继续追问，但她的手指无意识地收紧，林柚感觉到胳膊上的压力变大了。

　　她们在公交车站分开。周浅要坐的路线先来，她上车前回头挥了挥手：“明天见！记得数学作业要写完哦，听说要收的。”

　　车开走后，林柚才意识到：周浅刚才那句话其实是在提醒她，陆屿是数学课代表，负责收作业。

　　一种很微妙的、几乎察觉不到的宣告——她对陆屿的了解，比林柚多得多。

　　林柚等的那班车迟迟不来。她从书包里拿出酸奶，小口喝着。酸奶的凉意让她清醒了一些。她想起白板上那两条曲线，想起陆屿说的“相位不同步”。

　　如果人与人之间的理解有最佳时机，那么她和陆屿的“相位”现在是什么状态？

　　两条刚刚开始上升的曲线？还是已经错开的波峰与波谷？

　　公交车终于来了。林柚上车，找了个靠窗的位置。窗玻璃映出她模糊的倒影，以及窗外飞速后退的城市灯火。

　　手机震动了一下。是陆屿发来的消息：

　　“你写的问题很有意思。我思考了一下，也许可以用信息论中的‘互信息’概念来建模。感兴趣的话，明天放学后可以一起讨论。四点在旧教学楼见？”

　　林柚看着这行字，手指悬在屏幕上方。

　　四点钟。那道特定光线出现的时间。

　　她回复：“好。”

　　几乎同时，第二条消息进来：“记得带酸奶。昨天看见你喝的是原味的，今天可以试试蓝莓味，学校小卖部有卖。”

　　林柚愣住了。他注意到了。这么小的细节。

　　她回复：“你怎么知道我今天会去？”

　　“直觉。”陆屿的回复很快，“而且，墙明天会有新的内容。”

　　“你刻了新的字？”

　　“不，是回应。对我父亲那句话的回应。”

　　林柚盯着屏幕，感觉到心跳在加速。她想起自己昨天离开时，那面墙上只有一句英文。而陆屿说，他写了回应。

　　也就是说，他昨天在她离开后，又回去了。

　　独自一人，在暮色降临的时候，在墙上留下了新的痕迹。

　　公交车到站了。林柚下车，脚步比平时快了一些。回到家，她放下书包的第一件事就是打开台灯，重新看那张拓印纸。

　　“To the world you may be one person, but to one person you may be the world.”

　　她试着想象，陆屿会写下什么样的回应？

　　一句同样诗意的话？一个数学公式？还是简单的“我明白”？

　　她不知道。这种不知道的感觉很奇妙，像是一道未解的数学题，所有的条件都已经给出，只等明天去验证答案。

　　睡前，林柚翻开数学作业本。今天的作业里有一道关于三角函数周期的题目。题目要求证明：对于任意实数x，有cos(x+π) = -cos(x)。

　　她工整地写下证明过程。写到一半时，忽然停住了。

　　余弦函数的周期是2π。也就是说，每隔2π个单位，函数值就会完全重复。但如果在x的基础上加上π，也就是半个周期，那么函数值就会变成相反数。

　　从正到负，从峰值到谷底。

　　一个完美的反转。

　　林柚在草稿纸上画出一个完整的余弦曲线。波峰，波谷，然后再回到波峰。曲线在坐标系中温柔起伏，像是呼吸，像是心跳，像是所有周期性的美好与遗憾。

　　她忽然想到：如果她和陆屿的理解曲线真的是两条余弦函数，那么它们的相位差是多少？

　　0？意味着完全同步，同时到达波峰，同时沉入谷底。

　　π/2？意味着一方的波峰对应另一方的零点，永远错位。

　　π？意味着完全相反，一方的最高点恰好是另一方的最低点。

　　她不知道答案。也许生活不像数学题，没有给定的初始条件，也没有标准的求解公式。

　　第二天，林柚醒得比平时早。晨光透过窗帘的缝隙，在地板上投下细长的光带。她躺在床上，看着天花板，在心里默默复习余弦函数的性质。

　　早餐时，妈妈递给她一盒酸奶：“新出的黄桃味，尝尝看。”

　　林柚接过来，想起陆屿说的蓝莓味。她决定放学后去买一盒。

　　上午的数学课讲三角函数。老师在黑板上画出正弦和余弦的图像，讲解着振幅、周期、相位差的概念。林柚听得格外认真，笔记本上记满了公式和图例。

　　课间，陈薇回过头来：“林柚，昨天的数学作业最后一题你做出来了吗？好难啊。”

　　“是证明cos²θ + sin²θ = 1那道？”

　　“不是，是后面那道应用题，关于摩天轮的运动模型。”

　　林柚翻开作业本，给陈薇讲解。讲到一半时，她抬眼看见陆屿从窗外走过。他抱着一摞作业本，应该是刚从数学老师办公室出来。周浅走在他身边，正笑着说什么。

　　陆屿点了点头，但没有笑。他的目光穿过窗户，在教室里扫视一圈，最后落在林柚身上。

　　很短的一瞥，几乎无法察觉。

　　但林柚看见了。她的话顿了一下，然后继续讲解完那道题。

　　陈薇满意地转回去：“谢谢！你讲得好清楚。”

　　第三节课是体育课。女生测800米，男生测1000米。林柚跑完后，坐在操场边的台阶上喘气。她拧开一瓶水，小口喝着，目光不自觉地寻找陆屿的身影。

　　他正在跑最后一圈。他的跑步姿势很好看，步伐稳定，呼吸均匀，不像其他男生那样在最后冲刺时面目狰狞。冲过终点线后，他弯下腰，双手撑住膝盖，背脊的线条在汗湿的校服下清晰可见。

　　周浅拿着一瓶水跑过去：“陆屿，给你水！”

　　陆屿直起身，接过水：“谢谢。”但他没有立刻喝，而是走到一旁的树荫下，从自己的书包里拿出另一瓶水。

　　林柚注意到这个细节。她想起昨天陆屿说他对海鲜过敏——也许他对饮食很谨慎，不轻易接受别人给的东西。

　　体育课结束后是午休。林柚去小卖部买酸奶，果然找到了蓝莓味。她拿着酸奶走到旧教学楼附近，找了个长椅坐下。

　　初秋的阳光很好，透过梧桐树叶洒下斑驳的光点。她小口喝着酸奶，蓝莓果粒在舌尖爆开微小的甜酸。

　　不远处传来脚步声。林柚抬起头，看见陆屿朝这边走来。他手里拿着一本很厚的书，书名是《信息论基础》。

　　“这么早就来了？”陆屿在她旁边坐下，中间隔着一个书包的距离。

　　“体育课提前结束了。”林柚注意到他的头发还有些湿，应该是刚洗过脸，“你看这么深奥的书？”

　　“随便翻翻。”陆屿把书放到一边，“关于昨天你说的‘最佳时机’问题，我想到了一个可能的建模思路。”

　　他从书包里拿出笔记本，翻开到某一页。上面画着复杂的图表和公式，字迹工整得像印刷体。

　　“假设两个人A和B，他们各自的知识结构可以用一个概率分布来描述。”陆屿用笔尖指着图表，“随着时间推移，他们会获得新的信息，这些信息会更新他们的概率分布。而‘理解’的程度，可以用两个分布之间的KL散度——也就是相对熵——来衡量。”

　　林柚凑近了些。她能闻到陆屿身上淡淡的肥皂味，混着阳光晒过的棉布气息。

　　“关键在这里，”陆屿的笔尖移动到下一张图，“新信息进入的速度不是匀速的。有些时刻会集中获得大量信息——比如一次深入的交谈，一次共同的经历。这些时刻就是‘理解跃迁’的关键点。”

　　他在时间轴上标出了几个点，在这些点上，两条代表知识分布的曲线快速接近。

　　“所以最佳交流时机，应该选择在这些跃迁点附近。”陆屿抬起头，看着林柚，“因为这时候，投入同样的时间，获得的‘理解增量’最大。”

　　林柚沉默了一会儿，消化这些概念。然后她问：“但你怎么知道什么时候会出现跃迁点？这可以预测吗？”

　　“这就是最困难的地方。”陆屿合上笔记本，“信息论只能描述已经发生的事，很难预测未来。就像那面墙——我知道光线会在下午四点出现，但我不知道在那道光线下，会看见谁，会听见什么样的秘密。”

　　他说这话时，目光落在林柚手中的酸奶瓶上。

　　“蓝莓味，”陆屿说，“好喝吗？”

　　“还不错。”林柚把瓶子递过去，“要尝尝吗？”

　　问出口的瞬间她就后悔了——这个举动太亲密，而且她刚刚喝过。但陆屿没有接，只是摇摇头：“不用，我不习惯分享食物。过敏体质，要小心。”

　　“抱歉，我忘了。”

　　“没关系。”陆屿站起身，“快四点了，去看看吧。”

　　他们一起走向那面墙。下午的阳光正在缓缓移动，水杉树的影子在红砖墙上爬行。林柚站在昨天那个位置，等待着。

　　三点五十八分。

　　三点五十九分。

　　四点整。

　　第一道特定角度的光线切过墙面，像一把金色的刀，精准地剖开砖块的纹理。那句英文首先显现，然后是——

　　在它正下方，出现了一行新的字迹。

　　不是刻上去的，是粉笔写的，字迹清瘦有力：

　　“那么，对那个人来说，你就是他的全世界。”

　　林柚屏住了呼吸。

　　她看着那行字，看着它在光线下从隐形到清晰，像是一个从深海里缓缓浮起的秘密。粉笔灰在光线中微微反光，让每个笔画都镶着金边。

　　“你写的。”她不是问句。

　　“嗯。”陆屿站在她身侧，声音很轻，“昨天你离开后写的。”

　　“为什么要写这个？”

　　陆屿沉默了很久。远处传来学生打篮球的声音，欢呼声被风送过来，又散开。

　　“因为我父亲当年刻下那句话时，希望得到回应。”他说，“但没有人回应他。我母亲直到离开，都不知道这面墙的存在。”

　　林柚转过头看他。他的侧脸在逆光中有些模糊，睫毛在脸颊上投下长长的阴影。

　　“所以你在替他完成对话？”林柚问。

　　“不完全是。”陆屿也转过头，他们的目光在空中相遇，“我在写给我自己。”

　　这句话的含义太复杂，林柚一时无法完全理解。但她感觉到，这不仅仅是一句回应，更是一个承诺，一个宣言，一个用粉笔写在旧墙上的、随时可能被风雨抹去的秘密。

　　光线开始偏移。墙上的字迹开始变淡，粉笔的反光减弱，那句英文和它的回应一起，慢慢退回沉默的砖墙之中。

　　四点十分，最后一点金光移开，墙上恢复原状，仿佛什么都没有发生过。

　　但林柚知道，有些东西已经改变了。

　　就像余弦函数经过零点，虽然函数值暂时归零，但曲线的趋势已经确定——它正在上升，向着某个尚未到达的峰值。

　　“下周的数学小组，”陆屿打破沉默，“我想讨论信息论和人际理解的关系。你会来吧？”

　　“会。”林柚说。

　　“那明天见。”

　　“明天见。”

　　陆屿先离开。林柚站在原地，又等了一会儿。她拿出手机，对着那面现在看起来平平无奇的墙拍了一张照片。

　　照片里只有红砖和爬山虎。

　　但林柚知道，在另一个维度——在光线的维度，在角度的维度，在时间的特定切片里——这面墙会说话。

　　它会说出三十年前的情话，说出昨天的回应，说出所有那些只在正确时刻显现的真相。

　　她把照片保存好，标题写上：“余弦墙，2023年9月7日，下午四点。”

　　回教室的路上，林柚遇见周浅。她正和几个（3）班的女生在一起，看见林柚，笑着打招呼：“林柚！听说你加入数学小组了？”

　　“嗯，昨天第一次活动。”

　　“真好。”周浅走过来，很自然地挽住林柚的手臂，“陆屿讲得是不是很深奥？他有时候会这样，沉浸在自己的思路里，不考虑别人能不能跟上。”

　　“还好，我能理解。”林柚说。

　　周浅的笑容更深了：“那就好。对了，这周末我们班几个同学要一起去图书馆学习，你要不要一起来？陆屿也来哦。”

　　这是一个邀请，也是一个测试。

　　林柚想了想：“周末我有安排，可能去不了。”

　　“这样啊，那太可惜了。”周浅的语气里听不出遗憾，“下次有机会再一起。”

　　她们在教学楼前分开。林柚走上楼梯时，回头看了一眼。周浅还站在原地，正和同伴说着什么，然后她们一起笑起来。

　　笑声很清脆，但在午后的走廊里，显得有些空旷。

　　林柚回到教室，从书包里拿出那本《信息论基础》——刚才陆屿离开时忘了拿，她帮他收起来了。

　　书很重，封面是深蓝色的布纹纸。她翻开扉页，看见上面用钢笔写着一行字：

　　“给陆屿：愿你在确定性的世界里，找到面对不确定性的勇气。父，2021年秋。”

　　字迹苍劲有力，但“父”字的最后一笔有些颤抖，像是写字的人手不太稳。

　　林柚轻轻合上书。她想起陆屿说起父亲时的表情，想起墙上那句迟到了三十年的回应。

　　她忽然明白了那句话——“我在写给我自己”的含义。

　　陆屿不仅仅在回应父亲的情话，更是在对他自己承诺：不要重复父亲的遗憾。要在还能说的时候说，还能写的时候写，还能在光线下留下痕迹的时候，勇敢地留下痕迹。

　　即使那些痕迹可能被风雨抹去。

　　即使那些话语可能永远不会被对的人听见。

　　重要的是，在正确的时刻，让正确的光线，照亮过那些正确的字句。

　　下午的课林柚有些走神。老师在讲台上讲着唐宋八大家，她的笔在笔记本边缘无意识地画着余弦曲线。一条，两条，三条……曲线交织，像是某种复杂的波谱分析。

　　放学铃声响起时，她才回过神。笔记本边缘已经画满了各种曲线，有些相交，有些平行，有些在无限接近后又分开。

　　陈薇凑过来看：“哇，你画的是什么？艺术创作？”

　　“数学灵感。”林柚合上笔记本。

　　她收拾好书包，走出教室时，下意识地看向（3）班的方向。陆屿刚好从教室里出来，周浅跟在他身边，正说着什么。

　　陆屿点了点头，然后抬起头，看向林柚这边。

　　他们的目光隔着走廊相遇。很短，但足够完成一次无声的确认。

　　陆屿微微颔首，林柚也轻轻点头。

　　然后他们各自转身，走向楼梯的不同方向。

　　林柚走下楼梯时，感觉到手机震动。是陆屿发来的消息：

　　“书是不是在你那里？”

　　林柚回复：“是的，明天带给你。”

　　“谢谢。另外，关于今天墙上那句话……如果你有任何解读，可以告诉我。”

　　林柚站在楼梯拐角，手指在屏幕上停留。最后她回复：

　　“我的解读是：有些对话一旦开始，就不会真正结束。即使光线移开，字迹隐去，但那些话已经存在过了。存在过，就是永恒。”

　　发送后，她有些紧张地等待回复。

　　陆屿的回复在一分钟后到来：

　　“那么，我们正在进行一场永恒。”

　　林柚看着这行字，感觉到心脏以一种陌生的节奏跳动。不是急促的，而是深沉的，像是余弦曲线从谷底开始上升时，那种缓慢而坚定的加速度。

　　她走出教学楼，秋日的夕阳将整个校园染成金色。她回头看了一眼旧教学楼的方向，那面墙此刻正沐浴在最后的余晖中，红砖变成温暖的橘红色。

　　明天下午四点，光线会再次降临。

　　而她会再次站在那里，等待墙说话，等待秘密显现，等待两条余弦曲线在时间的坐标系中，找到下一个可能的交点。

　　她从书包里拿出蓝莓酸奶，拧开盖子。这一次，她没有急着喝，而是举起瓶子，对着夕阳的方向。

　　酸奶在玻璃瓶里呈现出漂亮的淡紫色，像是凝固的晚霞。

　　她喝了一口，然后盖上盖子，走向公交车站。

　　车还没来，她靠在站牌上，重新翻开数学笔记本。在画满余弦曲线的页面背面，她写下：

　　“第一天，相位差未知。第二天，确认曲线都在上升区间。第三天……”

　　她停住笔。

　　第三天会发生什么？她不知道。

　　但她知道，至少现在，两条曲线还没有错过那个关键的光线角度。

　　至少现在，墙还在说话。

　　至少现在，永恒正在进行中。

　　公交车来了。林柚上车，找了个后排位置。窗外的城市灯火次第亮起，像是一个巨大的、无限延伸的坐标系，每个光点都是一个变量，每一条街道都是一条可能的轨迹。

　　而她，是其中一个移动的点。

　　另一个点，在城市的另一个角落，也许也在看着同样的夜色，思考着同样的数学题，等待着同样的下一个四点。

　　林柚闭上眼睛。

　　在意识的黑暗里，她看见了两条余弦曲线。它们从不同的起点出发，以不同的初相位开始振动。但它们的周期相同，振幅相近，在时间的推进中，它们正在缓缓靠近。

　　也许会在某个t值相遇。

　　也许会在某个t值错过。

　　但无论如何，它们已经在同一个坐标系里振动了。

　　这本身，就是一个好的开始。