《绝对考场》沐知春

3、第 3 章 第三章

　　第三章数学的谎言
　　数字在跳动。
　　季淮盯着试卷上的那道函数题，瞳孔微微收缩。f(x)=x?+2x+1——这是他在第一眼看到的式子，但仅仅过了两三秒，x?就变成了x?，2x变成了5x，常数项1像呼吸一样忽明忽暗，时而出现时而消失。
　　他揉了揉眼睛，确认自己没有产生幻觉。
　　试卷上的数字确实在变化，而且是持续不断的、无序的变化。每一个数字都在自己的区间内随机波动，像是有一只无形的手在不断拨弄着它们。
　　季淮抬头看向周围的考生。
　　有人已经开始在草稿纸上演算了，笔尖飞速移动，完全没有察觉到试卷的异常。有人盯着试卷发呆，额头上渗出冷汗，嘴唇哆嗦着，似乎在努力说服自己这一切都是正常的。还有人干脆放弃了，把笔往桌上一扔，抱着头低声抽泣。
　　只有沈屿是个例外。
　　他依然没有动笔，甚至连试卷都没有翻开。他靠在椅背上，双手枕在脑后，闭着眼睛，像是在午后的阳光下打盹。
　　季淮收回目光，重新聚焦在面前的试卷上。
　　他需要找到一个方法来应对这种动态变化的数字。如果数字是随机变化的，那就不可能算出确定的答案。但如果数字的变化有规律可循呢？
　　他决定先观察一段时间。
　　他盯着第一道题，目不转睛地看了整整三分钟。在这三分钟里，他记录下了每一次数字变化的轨迹——
　　x?的变化范围在x^1.5到x^3之间，周期大约是五秒一次。2x的变化范围在0.5x到8x之间，周期不规则。常数项1在0到5之间浮动，没有任何明显的周期规律。
　　季淮皱起眉头。
　　如果这三个变量的变化是相互独立的，那这道题就无解。因为无论他在哪个时刻写下答案，下一秒数字一变，答案就错了。
　　除非——
　　他想到了一种可能性。
　　如果变量之间的变化是关联的呢？比如，当x?变大时，2x也会相应地变大，从而维持某种内在的平衡？
　　他开始同时追踪多个变量的变化，试图找出它们之间的相关性。
　　又是五分钟过去了。
　　季淮的眼睛开始发酸，但他不敢眨眼，生怕错过任何一个数据点。汗水从他的额头滑落，滴在试卷上，洇湿了一小块纸面。
　　然后他发现了。
　　这三个变量并不是独立变化的。它们的变化遵循一个隐藏的规律——无论数字如何变动，这个二次函数的顶点坐标始终保持在同一个位置。
　　换句话说，无论f(x)的表达式怎么变，它的最小值永远是一个定值。
　　季淮深吸一口气，在答题卡上写下了答案：0。
　　他不知道自己为什么这么确定，但他的直觉告诉他，这就是正确答案。
　　写完之后，他等了十秒钟，确认没有任何惩罚降临，才松了一口气，转向第二题。
　　第二题是一道几何题。
　　“如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D在AC边上，且AD=BC，求∠BDC的度数。”
　　图是画在试卷上的，一个等腰三角形，顶角20°，底边上有一些辅助线。看起来是一道经典的初中几何题，难度适中。
　　但季淮知道，事情绝对不会这么简单。
　　他盯着那张图看了几秒钟，果然发现了问题。
　　图中的线段长度在变化。AB和AC本来是相等的，但此刻AB正在慢慢变长，AC却在缩短。∠BAC也在变化，从20°慢慢增加到25°，然后又降回18°。点D的位置也在移动，沿着AC边上下滑动。
　　整个图形像是一个活物，在不断扭曲变形。
　　季淮闭上眼睛。
　　他不能在视觉层面上去解这道题，因为视觉信息是不可靠的。他必须在脑海里构建一个稳定的数学模型，一个不受试卷上那些变化影响的抽象结构。
　　他开始在脑海里重新绘制这个图形。
　　AB=AC，这是一个等腰三角形。∠BAC=20°，这是一个很小的顶角。AD=BC，这是一个额外的条件。求∠BDC的度数。
　　这些条件是稳定的，因为它们是用语言描述的，而不是用数字表示的。试卷上的数字和图形可以变化，但这些文字描述的条件是不变的。
　　所以，这道题的本质是：在一个顶角为20°的等腰三角形中，在一条腰上取一点D，使得AD等于底边BC，求D与底边另一端点的连线与底边所成的角。
　　这是一个纯粹的几何问题，不需要依赖任何具体的数值。
　　季淮开始在脑海里进行推理。
　　他设∠BAC=20°，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=80°。
　　设AD=BC。
　　他要找的是∠BDC。
　　他尝试了多种辅助线的做法，正弦定理、余弦定理，各种方□□番上阵。时间一分一秒地过去，他的额头上渗出了细密的汗珠。
　　这道题的难点在于，AD=BC这个条件很难直接利用。在一般的几何题中，线段相等往往意味着全等三角形或者等腰三角形，但在这里，AD和BC不在同一个三角形里。
　　季淮换了一个思路。
　　他假设∠BDC=x，然后用x来表示其他的角度，建立方程。
　　经过一番推导，他得到了一个关系式：x=30°。
　　他睁开眼睛，在答题卡上写下了答案：30°。
　　又是一道题通过了。
　　季淮没有停下来庆祝，而是立刻转向第三题。
　　第三题是一道概率题。
　　“一个袋子里有5个红球和3个蓝球，每次随机取出一个球，不放回，求连续取出两个红球的概率。”
　　看起来很简单的概率题。标准的超几何分布，答案是(5/8)×(4/7)=20/56=5/14。
　　但季淮注意到一个问题。
　　他盯着“5个红球”这几个字，发现“5”正在慢慢变成“6”，然后又变回“5”。“3个蓝球”的“3”也在变化，有时变成“2”，有时变成“4”。
　　球的总数在变化，红球和蓝球的比例在变化。
　　那么，这道题的答案就不是一个定值，而是一个随变量变化的函数。
　　季淮想了想，在答题卡上写了一个表达式：P=n/(n+m)×(n-1)/(n+m-1)，其中n为红球数，m为蓝球数。
　　他没有写具体的数值，而是给出了一个通用的公式。这样一来，无论n和m如何变化，这个公式都是成立的。
　　写完这个答案之后，他停顿了一下，等待着可能的惩罚。
　　还是没有惩罚。
　　季淮松了口气，继续往下做。
　　第四题、第五题、第六题……他一口气做到了第十题，每一道题都用同样的策略去应对——忽略具体数字，抓住不变的结构，用抽象的数学语言来表达答案。
　　做到第十一题的时候，他遇到了一道前所未有的难题。
　　“证明：对于任意正整数n，n?-n能被6整除。”
　　这是一道数论题，看起来很简单。n?-n=n(n-1)(n+1)，三个连续整数的乘积，必然能被2和3整除，所以能被6整除。标准的证明方法。
　　但季淮注意到，这道题有一个陷阱。
　　在“绝对考场”里，所有的数字都是不可信的。如果他按照常规的方法去证明，那么在证明的过程中，他需要用到的那些数字——比如“6”——会不会也发生变化？
　　他盯着试卷上的“6”，果然，它正在慢慢地变成“7”，然后又变回“6”，接着又变成了“5”。
　　这道题要证明的结论本身就在变化。
　　那么，他要怎么证明一个不断变化的命题？
　　季淮陷入了沉思。
　　他想了很久，终于想到了一个办法。
　　他不需要证明“n?-n能被6整除”，他需要证明的是“n?-n能被k整除，其中k是试卷上显示的那个数”。
　　也就是说，他需要给出一个通用的证明框架，无论k是多少，这个框架都能成立。
　　但这几乎是不可能的。因为不同的k有不同的质因数分解，证明方法完全不同。
　　季淮咬了咬牙，决定赌一把。
　　他在答题卡上写道：“设k为试卷上显示的正整数。若k=6，则n?-n=n(n-1)(n+1)，三个连续整数中必有一个偶数和一个倍数，故能被6整除。若k≠6，则需根据k的具体值另行证明。”
　　他写完这个答案，屏住了呼吸。
　　几秒钟后，一股剧痛从右手传来。
　　季淮低头一看，只见自己的右手手背上出现了几道细细的血痕，像是被锋利的刀刃划过一样。鲜血顺着手指滴落在答题卡上，染红了一大片。
　　“第十一题答错，扣十分。”王考官的声音冷冷地响起，“当前得分：八十分。”
　　季淮咬着牙，忍着疼痛，没有发出任何声音。
　　他明白了。这道题的标准答案就是“n?-n能被6整除”，不接受任何变通。即使试卷上的数字在变化，但系统认定的正确答案依然是那个固定的版本。
　　他之前的策略——用通用公式应对变化的数字——在这一题上失效了。
　　为什么？
　　季淮的大脑飞速运转。他回想前面的十道题，试图找出其中的规律。
　　第一道函数题，他用了“顶点坐标不变”的规律。第二道几何题，他用了“文字条件不变”的策略。第三道概率题，他用了“通用公式”的方法……
　　这些策略都奏效了，为什么第十一题就不行？
　　唯一的区别在于，前面的题目都是计算题，而第十一题是证明题。
　　计算题可以有多种表达方式——数值、公式、表达式——只要本质正确，系统就会判对。但证明题需要严格的逻辑链条，每一步都必须精确无误，不能有任何含糊。
　　季淮深吸一口气，在答题卡上把第十一题的答案划掉，重新写了一遍标准的证明过程。
　　这一次，他没有再试图耍小聪明。
　　疼痛渐渐消退，手上的血痕也慢慢愈合了，像是从来没有出现过一样。季淮活动了一下手指，确认没有伤到筋骨，然后继续往下做题。
　　后面的题目越来越难，涉及的领域也越来越广。有线性代数、微积分、组合数学、图论……甚至还有一些他从未见过的题型，像是专门为了刁难他而设计的。
　　但季淮咬紧牙关，一道一道地攻克。
　　每当遇到不确定的题目，他就回想起沈屿说的那句话——“不要相信你看到的任何数字。”这句话成了他的指南针，帮助他在变幻莫测的数字迷雾中找到方向。
　　不知不觉中，他已经做到了最后一题。
　　第二十题。
　　这道题占据了整整一页试卷，题目很长，密密麻麻的文字和公式铺满了整张纸。
　　“设f(x)是一个定义在实数集上的连续函数，满足以下条件：
　　1. f(0)=0，f(1)=1；
　　2. 对于任意实数x和y，有f(x+y)=f(x)+f(y)；
　　3. f(x)在x=0处可导。
　　求证：f(x)=x。”
　　季淮看完这道题，眉头紧锁。
　　这是一道典型的柯西方程问题。如果一个函数满足加性条件，并且在某一点连续（或者可导），那么它就是线性函数。再加上f(0)=0和f(1)=1这两个边界条件，就可以推出f(x)=x。
　　证明过程并不复杂，但他隐隐觉得有什么地方不对。
　　他重新读了一遍题目，逐字逐句地分析。
　　“f(x)是一个定义在实数集上的连续函数”——没问题。“f(0)=0，f(1)=1”——没问题。“对于任意实数x和y，有f(x+y)=f(x)+f(y)”——这是加性条件，也没问题。
　　“f(x)在x=0处可导”——等等。
　　季淮的目光停在了“x=0”这几个字上。
　　如果f(x)在x=0处可导，那么根据加性条件，可以推出f(x)在整个实数集上都是可导的，并且导数恒等于f'(0)。再结合f(1)=1，就可以得到f'(0)=1，从而f(x)=x。
　　这个推理过程是正确的。
　　但是，题目给出的三个条件中，第二个条件“f(x+y)=f(x)+f(y)”是对任意实数x和y都成立的。这意味着f(x)是一个加性函数。
　　而对于加性函数来说，只要它在某一点连续，它就是线性函数。可导是比连续更强的条件，所以第三个条件实际上是多余的。
　　为什么要给一个多余的条件？
　　季淮嗅到了一丝阴谋的味道。
　　他盯着试卷上的字，等待着它们发生变化。
　　果然，没过多久，第三个条件就开始闪烁了。“f(x)在x=0处可导”这几个字时隐时现，像是接触不良的灯泡一样。
　　紧接着，第一个条件也开始变化。“f(0)=0”变成了“f(0)=1”，“f(1)=1”变成了“f(1)=0”。
　　第二个条件也未能幸免。“f(x+y)=f(x)+f(y)”变成了“f(x+y)=f(x)×f(y)”。
　　整个题目面目全非。
　　季淮倒吸一口凉气。
　　如果他按照原来的题目去做，写下了标准的证明过程，那么当题目发生变化之后，他的答案就不再适用于新的题目，就会被判错。
　　这是一个连环陷阱。
　　系统先用一个看似合理的题目引诱考生写出答案，然后在考生交卷前的最后一刻改变题目，让原本正确的答案变成错误的。
　　季淮的后背已经被冷汗浸透了。
　　他该怎么办？
　　如果他等到最后一刻再写答案，那就有可能来不及写完。如果他提前写，又有可能被系统坑害。
　　他想了想，做出了一个决定。
　　他提起笔，在答题卡上写道：
　　“此题无固定答案。因为题目本身是动态变化的，任何针对特定版本的证明都无法保证在所有版本中都成立。因此，本题的正确解答方式是：拒绝作答。”
　　写完这段话，他放下了笔。
　　他知道这个决定可能会让他丢掉最后一题的20分，从而让他的总分数降到60分以下。但他别无选择。与其冒着被系统坑害的风险去写一个可能错误的答案，不如干脆放弃，保住已有的分数。
　　“时间到。”王考官的声音响起，“请停笔。”
　　季淮把笔放在桌上，长长地呼出一口气。
　　数学考试结束了。
　　他不知道自己的最终得分是多少，但他已经尽力了。剩下的，只能交给命运。
　　“现在开始收卷。”王考官走下讲台，一张一张地收起答题卡。当他走到季淮身边时，目光在季淮的答题卡上停留了片刻，眼中闪过一丝不易察觉的惊讶。
　　他看了季淮一眼，没有说话，继续往前走。
　　收完所有的答题卡后，王考官回到了讲台上。他翻开那一叠答题卡，一张一张地审阅，脸上的表情越来越凝重。
　　“数学科目考试结果如下——”他抬起头，目光扫过全场，“通过人数：十二人。淘汰人数：二十二人。”
　　教室里响起一片绝望的哭声和咒骂声。
　　三十四个人参加数学考试，只有十二个人活了下来。二十二个人在这场考试中被淘汰，变成了二十二摊暗红色的血迹。
　　季淮闭上眼睛，不忍去看那些空荡荡的座位。
　　“通过本次考试的考生名单如下——”王考官拿出一张纸，开始念名字，“季淮，沈屿，张晓萌，李浩然……”
　　十二个名字，每一个都代表着一个幸存者。
　　季淮的名字排在第一位。
　　他睁开眼睛，看向最后一排。沈屿依然坐在那里，嘴角挂着那抹似笑非笑的弧度，仿佛这一切都在他的预料之中。
　　“恭喜各位通过数学考试。”王考官合上名单，“接下来是最后一门科目——综合能力测试。这门考试将在明天上午八点开始，在此之前，你们可以在休息区自由活动。”
　　他按了一下讲台上的一个按钮，教室的后墙缓缓打开，露出一条走廊。
　　走廊尽头，是一扇敞开的门。
　　门外，是一个完全陌生的世界。