《反觑自身[石纪元 烟叉]》Xavier26

16、不要玩自己无法承受损失的游戏16 在运气面

　　在运气面前保持清醒不要玩自己无法承受损失的游戏16

　　尽管背叛彼此这种事情，不会发生在我们两个人身上，但背叛无解，只能将其发生的损害率降到最低——没错，只要我们两个人的实力强到不会被背叛影响——

　　“虽然这个要求很奇怪。”赛诺看着青梅竹马轻松地一路杀到第三十局，开口：“斯坦，在之后的三人或是更多人的对决里，麻烦你就像我平常做的那样——偷懒吧。”
　　女士：“偷懒？”

　　“像你那样从开始计算概率到结束比赛，对我来说不可能。不过，”斯坦利的声音从耳机里传了过来，“在三人对决里，所有参与者都可以透过不开枪来让自己处于优势。这种情况在一方的获胜即为另一方的损失、四人及以上的多方的决斗中并不存在。也就是说在N人对决中，射击技术最精湛的玩家，获胜的可能性更低，毕竟会被除了自己手上握的那把以外的所有枪枝瞄准，并且，在N人对决中，交战者可以被淘汰，直至比赛简化为单挑。”

　　“斯坦，你还记得我之前和你说过，合谋赛局很难有解，因为有背叛诱因这件事。在三人对决中，我们即将面临的挑战就是与其中一方对手合谋，并且在期间去选择是否背叛对方……”赛诺抿直唇，翻开计算纸，“很遗憾，在某些情况下，人的心会变得像石头一样硬。就当作你先前太过张扬，让我不得不机关算尽触及人心，帮你收拾烂摊子。”
　　斯坦利：“我不否认。”

　　“我有四个剧本。”赛诺按开原子笔，“你可以挑一个你最不反感的。”
　　斯坦利：“听你的。”

　　“Shoot at the Stronger Opponent（SASO），强者优先策略意味着每一轮开枪时，优先瞄准当下仍存活的对手中，命中精准度最高的那一个。现在有ABC三位选手，命中精准度显然是A≥B≥C。剧本一，无盟约、各自为战，第一阶段是A射B，B射A，C向空中射击；第二阶段是获胜者vsC的一对一决斗。”
　　“验证剧本一A先手，A的存活率公式，A先杀死B=a/(a+b-ab)，A杀死B后，C先手，A杀死C=a(1-c)/(a+c-ac)，两者相乘整理式子得E(A)=a?(1-c)/(a+b-ab)(a+c-ac)。B的存活率公式，第一阶段A先射但打偏，概率是为(1-a)，B后续开枪，B杀死A，b(1-a)/(a+b-ab)，第二阶段，B杀死A后，C接着先手，B再杀死C，b(1-c)/(b+c-bc)，两者相乘整理式子得E(B)=b?(1-a)(1-c)/(a+b-ab)(b+c-bc)。”
　　“B先手，A的存活率公式，第一阶段B先射但打偏，概率是(1-b)，A才开枪，A杀死B，a(1-b)/(a+b-ab)，第二阶段，C先射A，A杀死C，a(1-c)/(a+c-ac)，相乘整理式子E(A)=a?(1-b)(1-c)/(a+b-ab)(a+c-ac)。B的存活率公式，B先射，第一阶段B杀死A，b/(a+b-ab)，第二阶段C先射B，B杀死C，b(1-c)/(b+c-bc)，两者相乘整理式子得E(B)=b?(1-c)/(a+b-ab)(b+c-bc)。”
　　“因此我们可以得到C的存活概率公式是，一，B杀死A，C先手，C杀死B，以及二，A杀死B，C先手，C杀死A——E(C)=bc/(a+b-ab)(b+c-bc)+ac(1-b)/(a+b-ab)(a+c-ac)。”

　　赛诺：“因为射击顺序是随机的，ABC的初始期望值就取上述公式的平均值。盟约的背叛计算，就是改变A和B的射击目标，既然命中精准度是A≥B≥C，那我判断a=0.8，b=0.7，c=0.55，代入上述公式。”
　　“计算得到A先射，E(A)=0.337，E(B)=0.054，E(C)=0.609，三个数值相加等于1。B先射，E(A)=0.101，E(B)=0.271，E(C)=0.628，三个数值相加等于1。”

　　“取平均算初始期望值，选手A，A先射0.337，B先射0.101，(0.337+0.101)/2=0.219约等于0.22，选手B、C算法同理。得A的期望值是0.22，B的期望值是0.16，C的期望值是0.62。”
　　“我们可以知道最弱的C，命中率是0.55，存活率最高到达62%。最强的A命中率0.8，存活率只有22%，因此发展到剧本二，A和B决定结盟对付C。”

　　“在剧本二中，A和B协议，先集中消灭C，之后再一对一对决。所有选手的射击目标变成A射C，B射C，C射A(SASO，A更强)。PA=0.384，PB=0.565，PC=0.052，显然结果比剧本一更好，盟约有效。”
　　“剧本三，B背叛，A守承诺，B偷射A。B选手心想——‘A正在打C，现在偷射A最划算！’，A同时承受B和C的攻击，PA=0.118，PB=0.568，PC=0.314，对A极为不利。”

　　“最后，剧本四，A预判B会背叛，决定抢先动手射B，PA=0.407，PB=0.262，PC=0.331。”
　　“对B来说，若A守承诺，自己背叛得0.568>B守诺得0.565；若A背叛，B守诺得0.262
　　“每个人都做了对自己最好的决定，但集体结果对所有人都更差——在三人对决中，双方背叛是各自的最优选择，但最终落入剧本三或四，C 这个弱者反而坐收渔翁之利。”
　　“斯坦，你选择当A还是C，又选择演哪一个剧本？”

作者有话说

　運に流されず冷静さを保ち、自分には負いきれない損失を伴うゲームには手を出さない16
　互いに裏切り合うようなことは、私たち二人の間では起こらないだろうが、裏切りには解決策がなく、発生する損害率を最小限に抑えるしかない――そう、私たち二人の実力が、裏切りの影響を受けないほど強ければ――
　「この要求はちょっと奇妙だけどね」ゼノは、幼なじみが軽やかに30局目まで勝ち進んでいくのを見ながら、口を開いた。「スタン、これから3人、あるいはそれ以上の人数での対決では、僕が普段やっているように――サボってくれ。」
　女性「サボる？」
　「君のように、確率の計算から試合終了までずっとやり続けるなんて、僕には無理だ。でも」スタンリーの声がヘッドホンから聞こえてきた。「三人での対決なら、参加者全員が撃たないことで自分にとって有利な状況を作ることができる。この状況は、一方が勝てば他方が負けるという、4人以上の多者間対決では存在しない。つまり、N人対決では、射撃技術が最も優れたプレイヤーほど勝つ可能性は低くなる。何しろ、自分が手にしている銃以外のすべての銃に狙われることになるからだ。さらに、N人対決では、対戦者が脱落し、最終的に一対一の勝負に絞り込まれるまで戦いが続く。」
　「スタン、以前話したのを覚えているか。共謀ゲームには解決策がほとんどない、というのは裏切りの誘因があるからだ。3人対決において、我々が直面しようとしている課題は、対戦相手の一方と共謀し、その過程で相手を裏切るかどうかを選択することだ……」ゼノは唇をきゅっと結んで、計算用紙をめくった。「残念ながら、状況によっては、人の心は石のように硬くなってしまうものだ。君が以前、あまりにも目立ちすぎたせいで、私があらゆる手段を尽くして人の心を探り、君の残した後始末をしなければならなかったのだと思ってくれ。」
　スタンリー「否定はしない。」
　「シナリオは四つある。」ゼノはボールペンのキャップを外した。「君が最も抵抗を感じないものを選んでくれ。」
　スタンリー「お任せする。」
　「Shoot at the Stronger Opponent（SASO）、強者優先戦略とは、各ラウンドの射撃において、現時点で生存している対戦相手のうち、命中精度が最も高い相手を優先的に狙うことを意味する。現在、A、B、Cの3人の選手がおり、命中精度は明らかにA≥B≥Cである。シナリオ1：同盟なし、各自が独自に戦う。第1段階はAがBを撃ち、BがAを撃ち、Cは空に向かって発砲する。第2段階は勝者対Cの一対一の決闘だ。」
　「シナリオ1においてAが先攻する場合、Aの生存率の計算式は、Aが先にBを倒す場合＝a/(a+b-ab)、AがBを倒した後、Cが先攻する場合、AがCを倒す場合＝a(1-c)/(a+c-ac)となる。これらを掛け合わせて式を整理すると、E(A)＝a?(1-c)/(a+b-ab)(a+c-ac)となる。Bの生存率の式。第1段階：Aが先に撃つが外れる確率（1-a）、その後Bが撃ち、BがAを倒す場合、b(1-a)/(a+b-ab)、第2段階では、BがAを倒した後、Cが先に発砲し、BがCを倒す。この場合の生存確率はb(1-c)/(b+c-bc)となる。これらを掛け合わせて式を整理すると、E(B)=b?(1-a)(1-c)/(a+b-ab)(b+c-bc)となる。」
　「Bが先に発砲した場合、Aの生存率の計算式は以下の通りである。第1段階において、Bが先に発砲したが命中しなかった確率は(1-b)であり、その後Aが発砲してBを射殺する確率はa(1-b)/(a+b-ab)である。第2段階において、Cが先にAに向けて発砲し、AがCを射殺する。このときの確率はa(1-c)/(a+c-ac)となる。これらの確率を掛け合わせ、式を整理すると、E(A)=a?(1-b)(1-c)/(a+b-ab)(a+c-ac)が得られる。Bの生存率の公式：Bが先に発砲し、第1段階でBがAを倒した場合、生存率はb/(a+b-ab)となる。第2段階でCが先に発砲してBを撃ち、その後BがCを倒した場合、生存率はb(1-c)/(b+c-bc)となる。これらの式を掛け合わせて整理すると、E(B) = b?(1-c)/(a+b-ab)(b+c-bc) となる。」
　「したがって、Cの生存確率の公式は、第一に、BがAを倒し、Cが先手を取りBを倒す場合、および第二に、AがBを倒し、Cが先手を取りAを倒す場合――E(C)=bc/(a+b-ab)(b+c-bc)+ac(1-b)/(a+b-ab)(a+c-ac)となる。」
　ゼノ「射撃順序はランダムであるため、ABCの初期期待値は上記の式の平均値とする。同盟の背信の計算は、AとBの射撃目標を変更することになる。命中精度はA≥B≥Cであるため、a=0.8、b=0.7、c=0.55と仮定し、上記の式に代入する。」
　「計算の結果、Aが先に射撃した場合、E(A)=0.337、E(B)=0.054、E(C)=0.609となり、3つの数値を足すと1になる。Bが先に射撃した場合、E(A)=0.101、E(B)=0.271、E(C)=0.628となり、3つの数値を足すと1になる。」
　「平均を算出して初期期待値を求めると、選手Aの場合、Aが先に射撃したときは0.337、Bが先に射撃したときは0.101となり、(0.337+0.101)/2=0.219、約0.22となる。選手B、Cの計算も同様である。これにより、Aの期待値は0.22、Bの期待値は0.16、Cの期待値は0.62となる。」
　「これにより、最も弱いCの命中率は0.55で、生存率は最大62%に達することが分かる。最も強いAの命中率は0.8だが、生存率はわずか22%であるため、シナリオ2へと展開し、AとBはCに対抗するために同盟を結ぶことを決定する。」
　「シナリオ2では、AとBはまずCを集中して排除し、その後一対一で対決することを取り決める。全選手の射撃目標は、AがCを、BがCを、CがAを撃つ（SASO、Aの方が強い）となる。PA=0.384、PB=0.565、PC=0.052であり、明らかにシナリオ1よりも結果が良好であるため、同盟は有効である。」
　「シナリオ3では、Bが裏切り、Aは約束を守ったが、BはAを奇襲した。B選手は『Aは今Cを攻撃している。今Aを奇襲するのが最も得だ！』と考えた。AはBとCの両方からの攻撃を受け、PA=0.118、PB=0.568、PC=0.314となり、Aにとって極めて不利な状況となった。」
　「最後に、シナリオ4。AはBが裏切ると予測し、先手を打ってBを攻撃することを決定した。PA=0.407、PB=0.262、PC=0.331。」
　「Bにとって、Aが約束を守った場合、自分が裏切れば0.568を得られるが、Bが約束を守れば0.565しか得られない。Aが裏切った場合、Bが約束を守れば0.262しか得られず、Bが裏切る方がさらに悪い結果になる。Aについても全く同じことが言える。これが『囚人のジレンマ』である。」
　「誰もが自分にとって最善の決断を下したが、集団としての結果は全員にとってより悪いものとなった――3人での対決において、双方が裏切ることがそれぞれの最適選択だが、最終的にはシナリオ3または4に陥り、Cという弱者が逆に漁夫の利を得ることになる。」
　「スタン、君はAとCのどちらになる？そして、どのシナリオを演じる？」