《高中数学讲义》秃头数学人

15、第十三，十四讲 高中数学内

　　第二章高中数学的内容主线（上）
　　考点：1、熟悉《普通高中数学课程标准（实验）》所规定教学内容的知识体系，掌握《普通高中数学课程标准（实验）》对教学内容的要求
　　2、了解《普通高中数学课程标准（实验）》各模块知识编排的特点。
　　3、能运用《普通高中数学课程标准（实验）》指导自己的数学教学实践。
　　考点聚焦：1、本章知识在历年考试中多以简答题和论述题的形式进行考查。
　　2、在历年考试中，新课程标准所规定的教学内容的知识体系是考查重点，考生需要熟悉高中数学的课程内容主线，并与后面的教学内容结合起来，指导自己的数学教学实践。
　　第一节 函数主线
　　函数思想、算法思想、随机思想等都是高中数学课程的主线，它们彼此之间有着密切的联系，是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想。
　　一、对函数的认识
　　二、高中数学所研究的函数性质
　　三、具体函数模型
　　四、函数与其他内容的联系

　　一、对函数的认识
　　1、函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型
　　函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，通过探索、理解可以用变量与变量之间的依赖关系反映事物规律。
　　2、函数是联结两类对象的桥梁
　　函数是联结两类对象的桥梁，即映射关系。
　　3、函数是“图形”
　　在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。从某种意义上说，研究函数就是研究曲线的性质，研究曲线的变化。
　　二、高中数学所研究的函数性质
　　数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。函数的变化特征反映了它所刻画的对象的特征。
　　单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质。
　　（反映的是某个范围内函数的变化）
　　周期性是中学阶段学习函数的另一个基本的性质。
　　（反映了函数变化周而复始的规律）
　　奇偶性也是在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质。
　　（反映了函数的对称性质）原点和y轴
　　三、具体函数模型
　　了解函数的形式定义仅仅是理解函数的一部分，理解函数的一个重要方法，就是在头脑中有一些具体函数的模型。
　　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数是基本的初等函数，这些函数是最基本的，也是最重要的。

　　三、具体函数模型
　　1、线性函数
　　线性函数y=ax+b的图形是一条直线，它是函数关系中最常见的，也是最简单的。
　　2、正整数指数幂函数
　　正整数指数幂函数y=xn也是基本的函数，它们的代数和就是我们熟悉的多项式函数，这些函数都是“好”的函数。
　　（“好”：具有任意阶导数，非常“光滑”。在一定范围内都可以用多项式函数来近视地表示。在高等数学中，也称为泰勒公式。
　　3、指数函数、对数函数
　　指数函数、对数函数本身都是重要的函数，在刻画自然规律时，它们是用得最多的函数，也是最基本的函数。也是“好”的函数。
　　多项式函数（例如，y=x2，x?0）、指数函数（底数大于1）、对数函数（底数大于1），这三类函数都是随着自变量的增加而增加。但增长速度不同，对数增长最慢，多项式函数快一点，指数函数最快。
　　4、三角函数
　　周期现象是现实世界最基本的现象之一，三角函数是刻画周期现象最基本的模型，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。

　　四、函数与其他内容的联系
　　函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中。特别是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出地体现了函数思想。
　　1、函数与方程
　　用函数的观点看待方程，可以把方程的根看成函数与x轴交点的横坐标，即函数的零点，因此，解方程f(x)=0就是求函数y=f(x)的零点，函数零点个数就决定了相应方程实数根的个数。
　　2、函数与数列
　　数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集。
　　在高中阶段，主要讨论一些特殊的数列——等差、等比数列的性质。
　　3、函数与不等式
　　函数y=f(x)的图象把坐标系的横坐标轴分为若干部分区域，一部分区域是使函数值等于0，即｛x｜y=f(x)=0｝;一部分区域是使函数值大于0，即｛x｜y=f(x)?0｝；一部分区域是使函数值小于0，即｛x｜y=f(x)<0｝。
　　4、函数与线性规划
　　线性规划问题是最优化问题的一部分。
　　解线性规划问题，可归结为以下算法：
　　第一步，确定目标函数
　　第二步，确定目标函数的可行域
　　第三步，确定目标函数在可行域内的最值。
　　5、函数与算法
　　在算法中，最基本和重要的结构之一是循环结构。
　　循环结构中的循环变量分为两种形式：
　　一种循环变量的值可以取“运算次数”，以此来控制循环次数。
　　另一种循环变量的值可以取“运算结果”，是控制结果精确度的变量。
　　循环变量体现了函数的思想。“循环”的过程是依赖于循环变量取值的变化而一步步实现的，这种依赖关系体现了函数的思想。

　　第二节 运算主线
　　运算：运算的对象，运算的规律。
　　运算对象：“数”“字母”“指数”“对数”“三角函数”“向量”等。
　　运算规律：“结合律”“交换律”“分配律”等。
　　一、对运算的认识
　　二、运算的作用
　　三、运算内容的设计

　　一、对运算的认识
　　运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。
　　从数的运算到字母运算，是运算的一次飞跃。数的运算可以用来刻画具体问题中的数量关系，解决有关数量关系的具体问题。
　　从数的运算到向量运算，是认识运算的又一次飞跃。
　　二、运算的作用
　　1、运算与推理
　　运算的学习对于培养学生的逻辑推理能力具有重要作用。
　　2、运算与算法
　　在一定意义下，算法是通过计算机解决问题的，算法由计算机实现，构成算法的基本要素是运算。
　　3、运算与恒等变形
　　在解决数学问题的过程中，需要进行各种各样的恒等变形，把复杂问题变成简单问题。
　　三、运算内容的设计
　　在高中数学课程中，主要有几部分内容集中的介绍了运算：指数运算，对数运算，三角函数运算，向量运算，复数运算，导数运算等等。
　　第三节 几何主线
　　一、几何的教育功能
　　二、中学几何研究的对象
　　三、几何研究图形的方法
　　四、几何内容的设计

　　一、几何的教育功能
　　在高中数学课程中，几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力。这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理解都是非常重要的。
　　培养学生的几何直观能力，包括空间形象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力等。
　　二、中学几何研究的对象
　　中学几何主要是研究图形的位置关系和度量。
　　最基本的几何图形是点、线、面，由线可围成平面图形，由面可围成几何体。
　　图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。

　　三、几何研究图形的方法
　　中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析几何的方法，向量几何的方法，函数的方法等。
　　综合几何的方法是利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。
　　解析几何的方法是利用代数的方法研究几何图形的性质。
　　向量几何的方法就是用向量及其运算来研究几何图形的位置关系和度量关系。
　　四、几何内容的设计
　　1、“把握图形”的能力
　　在讨论线性规划问题时，有两个关键环境，一个是对可行域的理解；另一个是认识目标函数的变化趋势。平面区域图形非常清晰地表达了可行域的特征，等高线直观地给出了目标函数的变化趋势。
　　2、高中数学课程中几何内容的设计
　　高中数学课程中的几何内容是分层设计的，大体上包括三大部分：一部分在必修课中；一部分在选修1，选修2课程中；一部分在选修3，选修4的课程中。

　　第二章 高中数学的内容主线（下）
　　第四节 算法主线
　　算法也是设计高中数学课程的一条主线。有三个方面的问题应该特别注意：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。
　　一、算法的作用
　　二、算法的基本思想
　　三、算法的基本结构
　　四、算法的基本语句
　　五、算法内容的设计
　　一、算法的作用
　　1、算法学习能够帮助学生清晰思考问题、提高逻辑思维能力。
　　2、算法学习有助于学生全面的理解运算。
　　3、算法学习有助于提高学生的信息素养。
　　二、算法的基本思想
　　算法的基本思想是指按照确定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。
　　具体地说，解一元一次方程的算法概括起来可以是：去括号?移项?合并同类项?用未知数的系数的倒数乘方程的两端。这是求解一元一次方程的步骤，也是求解一元一次方程的算法。
　　三、算法的基本结构
　　算法通常包括三种基本结构，这三种基本结构是：顺序结构、分叉（选择）结构、循环结构。
　　1、顺序结构的算法的操作顺序是按照书写顺序执行的。
　　2、选择结构的算法是根据指定的条件进行判断，由判断的结果决定选取执行两条分叉路径中的一条。
　　3、循环结构的算法要根据条件是否满足来决定是否继续执行循环体中的操作。
　　四、算法的基本语句
　　在高中的数学课程中，不要求学习具体的算法语言，仅仅需要了解这些语言中的一些共同的基本语句：输入语句，输出语句，赋值语句，条件语句，循环语句。
　　五、算法内容的设计
　　在高中数学课程中，算法内容的设计分为两部分。
　　一部分主要介绍算法的基础知识，可以称作算法的“三基”：算法的基本思想，算法的基本结构、算法的基本语句。
　　另一部分是把算法的思想融入相关数学内容中。
　　第五节 统计概率主线
　　一、对统计概率的认识
　　目前我们的社会已经进入了信息时代，信息的主要载体是数据。收集数据、整理数据、分析数据、从数据中提取有用信息、利用数据中的信息说明问题，等等，这些已经成为人们的基本素质和能力。

　　二、统计内容的设计
　　1、数据处理的能力
　　2、统计注重过程
　　3、统计采用案例的教学方式
　　4、统计是一种归纳的思想
　　5、随机的思想
　　在统计的教学中，应该注意培养学生的随机思想。
　　第六节 应用主线
　　一、对应用的认识
　　1、发展学生应用意识的背景
　　发展学生应用意识是数学科学发展的要求。
　　发展学生的应用意识有助于培养学生的创新意识。
　　发展学生的应用意识是培养学生兴趣的需要。
　　发展学生的应用意识是培养学生自信心的需要。

　　2、高中数学教学中存在的问题
　　忽视数学与其他学科以及日常生活的联系，忽视培养学生的应用意识。
　　3、高中数学课程中如何体现数学的应用价值
　　学生学到必要的数学应用知识和受到必要的数学应用的实际训练。

　　二、应用的层次
　　对于高中课程中数学的应用，可以分为三个层次来理解，分别是：知识的背景和对实际问题的数学描述；对数学模型的认识和在实际中的直接应用；经历数学建模的过程。
　　1、知识的背景和对实际问题的数学描述
　　2、对数学模型的认识和在实际中的直接应用
　　3、经历数学建模的过程
　　1、知识的背景和对实际问题的数学描述
　　在高中数学课程中，学习了一些重要的数学概念，例如，函数、数列、算法、统计、线性规划、导数等，这些概念都有着丰富的实际背景，了解这些实际背景对于理解和应用这些数学概念是非常重要的，可以使这些抽象的数学概念变得生动、具体。
　　2、对数学模型的认识和在实际中的直接应用
　　近年来，数学界特别强调模型的思想，也凸显出了数学模型在数学学习中的重要性。
　　3、经历数学建模的过程
　　数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。