《穿针：一部挂谷猜想的64重奏》八宝粥888

3、第3章 屯•初生 万物之始，艰难险阻 2020年

　　2020年三月的波士顿，有一种奇异的安静。

　　悦儿站在公寓的窗户前面，看着外面的街道。查尔斯河对岸的剑桥市已经封了，MIT的教学楼关了，实验室关了，图书馆关了，连那个她常去的越南粉店也关了——老太太在门上贴了一张手写的告示，用马克笔歪歪扭扭地写着"暂时关闭，保重身体"，落款是一个笑脸。街上偶尔有一辆车驶过，车轮碾过干燥的柏油路面，发出一种空旷的回声，像隧道里的声音。

　　悦儿已经十七天没有出过门了。她的公寓里堆着从网上超市囤来的方便面、速冻饺子和几颗已经开始发蔫的卷心菜。她把卷心菜放在窗台上，阳光透过玻璃照在菜叶上，叶子边缘卷起来，像某种正在缩小的空间。

　　她的电脑屏幕上开着三个窗口。左边是Zoom，中间是arXiv，右边是一个空白的LaTeX文档，光标在屏幕左上角闪了三个小时还没有挪动过位置。

　　扎尔在Zoom那头咳嗽了一声。他的画面延迟了大概半秒，声音和口型错开了一点点，看上去像在演一部配音对不上的老电影。"你还在听吗？"

　　"在。"悦儿说。她其实刚才走神了，盯着窗台上那颗卷心菜在想别的事。"你说到哪儿了？"

　　"我说，我昨天把Katz-Tao的粘性框架重新推导了一遍。中间有一步我总觉得不对。"扎尔的屏幕共享了他那边的PDF，指针在某个公式下面划了一道红圈。"第八页，引理3.2。他们证明了粘性情形下的覆盖数上界。但那个上界用了一个直径增长的假设——管道在每一个尺度上都以某种'粘性'方式重叠。如果这个假设不成立呢？"

　　悦儿把视线从卷心菜上收回来，看着屏幕上那道红圈。她调出自己的PDF版本，翻到第八页。引理3.2，她在这页的页边写过三行批注，第一行是"对吗？"，第二行是"重推"，第三行什么都没有写，只有一条波浪线，表示她当时觉得这个引理有点站不住脚。

　　"这个引理，"悦儿说，"我也怀疑过。2018年我花了一个月推它，推了三遍。结论是它是对的——但前提是'粘性'定义中的那个δ尺度分离条件必须成立。Katz和Tao写的那个分离条件是——"

　　"太强了。"扎尔说。

　　"太强了。"悦儿重复了一遍。"他们假设不同尺度的管道在交叉时存在一个绝对的'分离度'——就好像不同层级的树枝永远不会在同一高度碰到彼此。这在现实中不可能成立。"

　　扎尔沉默了几秒。Zoom画面里他往后靠了靠，露出身后房间里的一面白墙——他也在居家办公，背景里没有任何装饰，像一间已经搬空的房间。"那如果我们把这个条件松一松呢？"

　　"松到什么程度？"

　　"松到——管道可以在某个尺度上'混乱'地交叉，但在更大的尺度上，那种混乱被平均掉了。"

　　悦儿盯着屏幕。她拿起手边的一支笔，在空白纸上画了一组线条。无数根细管，密密麻麻，在不同的尺度上交叉、分离、重新交叉。如果画得够密，那些线条看起来像一团灰色的雾。但如果你从更远的地方看那团雾——她退后两步，把纸举远了一点——那团雾的轮廓其实是清晰的，边缘规整，像一个有边界的物体。

　　"你说的这个，"她把纸放下来，"听起来像多尺度归纳里的'平均化'步骤。Tao在1999年用过类似的东西。"

　　"类似。但不一样。"扎尔把屏幕共享切到另一份文档，是一份他自己写的草稿，标题是"Sticky Kakeya: A Revised Framework"。悦儿看到那个标题，心里动了一下。扎尔在做她也在做的事——把Katz-Tao的框架拆开，重新组装，看看有没有哪根骨头是多余的，哪根骨头是不够的。

　　"你写这个用了多久？"悦儿问。

　　"疫情开始之后。"扎尔说，"每天都在写。反正哪里也去不了。"

　　悦儿没有说话。她看着屏幕上那份草稿的第一页，密密麻麻的公式从顶端一直排到底部，排版很干净，引理和定理的编号从1到37。这个人在这十七天里写了三十七个引理。悦儿低头看了看自己那张画了几根线条的白纸，忽然觉得卷心菜也没那么重要了。

　　"我们合作吧。"悦儿说。

　　Zoom那头沉默了一瞬。扎尔的画面卡了一下，声音和口型再次错开，然后他说："你说什么？"

　　"我说，我们合作。"悦儿把白纸翻了个面，用笔在上面写了"Sticky Kakeya"两个词，然后在下面画了一条横线。"你不也在做这个吗？我也在做。但我们两个都在重复对方的推导。你推一遍，我也推一遍，推完发现结论一样。那就白推了。"

　　"所以——"

　　"所以我们各推一半。你推引理部分，我推归约部分。每周碰两次头，交换结果。谁的推导出了问题，另一个人来查。谁的证明断了，另一个人来接。这样不浪费。"

　　扎尔那边沉默了很久。悦儿看着Zoom屏幕上的画面，扎尔的脸在延迟中微微抖动，表情介于惊讶和某种更复杂的情绪之间。最后他说话的时候声音比刚才低了一点："你知道这意味着什么吗？"

　　"意味着什么？"

　　"意味着我们绑在一起了。如果一个人做不下去，另一个人也得停下来。没法各做各的。"

　　悦儿想了想，说："我知道。"

　　"你不怕？"

　　"怕什么？"

　　"怕一个合作者把你拖下水。怕走了一半发现路径不对。怕三年之后什么都做不出来。"

　　悦儿看着窗外。街道上有一辆自行车经过，骑车的戴着一个白色的N95口罩，身形佝偻着，像在风里逆行了很远。

　　"我今年二十九了。"悦儿说，"从2014年开始认真做挂谷猜想，做了六年。六年里没有一天不想这个问题。洗澡的时候想，吃饭的时候想，走在路上也在想。但六年的时间，我只是在看别人写的证明、重复别人走过的路。我一个人从来没有往前推过哪怕一步。"

　　她停下来，把笔放下。

　　"如果三年之后什么都做不出来，那至少那三年是我自己在推。不是在看别人的后脑勺。"

　　扎尔在屏幕那头说了一句什么，但网络延迟让这句话碎成了两截。悦儿只听到后半截："……那就推。"

　　三月底，他们正式开工。

　　悦儿负责的部分是"归约"——把一般情形下的挂谷集合"压"到粘性的框架里去。她每天早上六点起床，煮一壶咖啡，坐到电脑前面，一直到下午四点才离开那张椅子。中间她会站起来在房间里走三圈，从窗户走到厨房再走回窗户，大概需要四十七步。她数过。

　　扎尔每周一和周四的晚上八点（他那边是温哥华的下午五点）跟她通一次Zoom。每次通话持续两到三个小时，他们在屏幕共享上对着一份LaTeX文档逐行地改，有时候一句话要改七八遍，改了又删，删了再写。

　　粘性挂谷猜想。悦儿在写第一版草稿的时候，把这个短语拆开来写了三遍，然后给它加了一个脚注："粘性（sticky）——管道在不同尺度上的重叠呈现树状结构，每一层尺度的管道都依附于上一层的骨架，像树枝从树干上长出来。任何脱离了树干的、'自由'的管道都不存在。这就是粘性。"

　　她把这个定义发给扎尔。扎尔回复："但你描述的是'强粘性'。Katz-Tao的定义其实比这个弱。他们只要求管道在任何尺度上的重叠都能被上一尺度的管道覆盖——覆盖，不是依附。"

　　悦儿看着那条回复，把脚注改成了："——覆盖。不是依附。"

　　四月的一天，悦儿的邮箱里多了一封不在计划内的邮件。发件人是墨衍。主题是："一个不精确的图案。"

　　她点开。正文只有一行字："Python画的。你上次说二维挂谷集合可以任意小，我试着把它画出来。附件的代码你可以跑跑看。如果跑不动，换了环境变量就行。"

　　附件是一个.py文件。悦儿下载了，在本地跑了一遍。屏幕上弹出一张图——密集的点、线和色块，从中心向外辐射，像一朵分形的蒲公英，每一层花瓣都嵌套着更小的花瓣，越靠近边缘越稀疏，但无论放大多少倍，那种稀疏的结构都自我重复。

　　悦儿盯着那张图看了很久。她用鼠标滚轮把画面拉近，再拉近，一直拉到像素级的颗粒感暴露出来。那个图案的边缘模糊成一团灰白色的噪点——墨子的数值模拟精度不够，网格分辨率只有2的负十次方左右。但这个图案的大致形状是对的。他用代码重建了Davies在1971年用纯数学构造的那个贝西科维奇集合。

　　悦儿回复了他："有趣。但不精确。"

　　三分钟后墨衍回了："精确是数学的事。美是代码的事。"

　　悦儿看着那行字，又看了一遍那张图。图案的中心像一朵花蕊，一层一层的细管缠绕着向内塌缩，像要把整个方向空间都折叠进一个点里。如果精度足够高，那个点应该趋近于零面积。但在墨子的图上，因为分辨率限制，那个点始终是一个有面积的小圆斑。一个因精度而无法消失的圆斑。

　　悦儿忽然想到了什么。她把那张图从屏幕上放大到了最大，然后截了中心区域的那个圆斑。她把那张截图贴进了一份新文档，在旁边写了一行字："如果三维中也存在这样的集合，它中心的'空隙'会被更小的管道填满。如果填不满，中心就会留下一个洞。挂谷猜想问的就是这个洞到底存不存在。"

　　她没有把这行字发给墨子。她只是存了档，然后把窗口关了。

　　那天晚上的Zoom通话里，扎尔把他们的工作进度重新梳理了一遍。三十七天。他们已经写完了引理部分的初稿，总共二十四个引理，其中十一个来自Katz-Tao的原框架，十三个是扎尔自己补的。悦儿负责的归约部分写了大约三分之一，最核心的那一步还没有突破——如何证明任何非粘性的管道结构都会自己"坍缩"成粘性的。

　　"你卡在哪儿了？"扎尔问。

　　悦儿把屏幕共享切到她的草稿。光标停在某个位置，是一行被她用红色标出来的不等式。"这里。我试图证明非粘性管道会创造一种'逃逸路径'——但逃逸路径的存在本身意味着某种更大的尺度上的粘性。这个循环论证我绕不出来。"

　　扎尔看着那个不等式，在屏幕那头发出一声很长的"嗯"。然后他说："试试反证法？假设逃逸路径存在，然后推到矛盾。"

　　"我推过。推到一半出现了另一个逃逸路径。无穷嵌套。"

　　"那就无穷嵌套下去。"

　　"无穷嵌套之后呢？"

　　"无穷嵌套的极限——"

　　"是粘性。"悦儿接完了这句话。她盯着屏幕上那个红色的不等式，忽然觉得有一根线正在黑暗中一点点变亮。无穷嵌套的逃逸路径。每一层逃逸都引向下一层更细的逃逸。如果这种嵌套无限进行下去，那在最深处——在最深的那个尺度上——所有的管道不得不叠加在一起。因为空间是有限的，无限次的嵌套必须收敛到某个极限集合。那个极限集合，就是粘性的。

　　她拿起笔，在纸上写下了一句话："无穷逃逸即粘性。"

　　然后她对着这句话看了很久。它像一道门，门很窄，只能侧身挤过去。但门确实是开着的。

　　"Joshua，"她说，"我可能找到了。"

　　"找到了什么？"

　　"从一般到粘性的那座桥。无穷逃逸的极限是粘性。如果逃逸路径无限多，它们的极限集合一定满足Katz-Tao的覆盖条件。我明天推一遍，发给你。"

　　扎尔在屏幕那头点了点头，动作卡了半秒。"明天。"

　　通话结束之后悦儿没有去睡。她坐在桌前把刚才那句话推了三遍，推了又擦，擦了又推。窗台上那颗卷心菜又蔫了一点，但她没注意。她的手边堆了六张纸，每一张都写满了不等式和箭头，箭头套箭头，像一棵不断分叉的树在纸面上蔓延。

　　凌晨四点，她把第六张纸翻过来，在背面画了一条线。一条细长的线段，从纸面的左边缘一直画到右边缘。然后她把纸卷起来，让那条线段的首尾相接。

　　一个环。

　　在二维平面上，一个环可以任意小——只要你把半径缩到足够小。但在三维中，一个环不能缩成一个点，除非你把它从平面里"提"出来。三维空间给了方向更多的自由度，也给了问题更多的复杂。但同样，三维空间也给了悦儿一种新的理解方式——她可以把二维的"环"提起来，放在三维中看它的形状。

　　粘性挂谷猜想就是那个被"提起来"的环。它保留了二维结构中的全部复杂性，但在三维中有了新的形态。如果她能描述清楚那个形态，她就能知道三维中所有的环是不是都能被提起来——或者有些环，注定只能在平面上待着。

　　她放下笔，看着那个被卷成环的纸圈。纸圈的边缘有一些细小的撕裂，是她刚才用力过猛留下的。那些撕裂像极小尺度的管道，指向所有方向，却在边界上戛然而止。

　　她想起墨子的那句回复。"美是代码的事。"她低头看了看这个纸环，忽然觉得它也是美的。不精确的、粗糙的、随时可能被揉皱的美。但在美的下面，那层结构是对的。那些方向是完整的。那些缝隙是真实的。

　　她在纸上最后写了一句："屯。刚柔始交而难生。万物之始，一切都不容易。"

　　然后她关了灯。窗外的街道在凌晨四点依然空无一人。波士顿在封城中沉睡，像一艘搁浅的船。而她的桌上，那个纸环在微光中投下一个弧形的影子，像一个还没成形的宇宙正在慢慢旋转。

　　第二天早上她醒来的时候，手机里有一条来自扎尔的消息。时间是凌晨三点十七分。内容只有两个字：

　　"来吧。"

　　她坐起来，打开电脑，把昨晚推的那六张纸上的内容导进了LaTeX。她开始打字。窗外，那颗卷心菜的叶子已经完全卷成了一团，像一个正在收缩的小小空间，把所有方向都收进了自己里面。

　　屯。万物初生，艰难险阻。但初生的东西，只要不灭，终会长大。

　　光标在屏幕的左上角闪了一下。她开始写引理4.1。