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1、大学霸的道歉 谢闫和祁垣 ...
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“下面有请下一位学神，谢闫！让我们期待一下，谢闫和连胜三年的祁垣究竟会擦出怎么样的火花！”
谢闫走到答题台前，看着对面笑嘻嘻的祁垣。
“让我们先开始赛前对话环节！”
主持人让工作人员给了祁垣和谢闫麦克风。
“祁垣，你说的话做到了，顶峰相见。”
“小闫闫挺不错的嘛！好久不见啊！”
祁垣还是那副笑嘻嘻地样子，和冷着脸的谢闫形成了鲜明的对比。
“什么情况啊？这对话，是好兄弟？”
“听这话应该是。”
……
台下一片吵闹。
大屏幕上的倒计时结束，答题环节开始。
第一题，设正实数 a,b,c 满足 a+b+c=3，求证：
\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}
\ge
\frac{a^3}{a^2+bc}+\frac{b^3}{b^2+ca}+\frac{c^3}{c^2+ab}
两人看完题目后迅速的在纸上写答案。“叮！”谢闫率先按下了完成按钮。大屏幕上出现了他的解题过程。
\frac{a^2+b^2}{a+b}=a+b-\frac{2ab}{a+b}
求和得：
L=2(a+b+c)-2\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\right)=6-2\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\right)
由
\frac{a^3}{a^2+bc}=a-\frac{abc}{a^2+bc}
求和得：
R=(a+b+c)-abc\left(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\right)=3-abc\left(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\right)
要证 L\ge R，即证：
6-2\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\right)
\ge
3-abc\left(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\right)
整理得：
3
\ge
2\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\right)-abc\left(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\right)
在 a+b+c=3 条件下，利用均值不等式与对称放缩可证上式恒成立，
等号当且仅当 a=b=c=1 时取得。
“回答正确！”
主持人的话闭，台下一片鼓掌声。
第二道题，已知函数
f(x)=x\ln x - ax + 1,\ a\in\mathbb{R}
1. 求 f(x) 的单调区间；
2. 若 f(x)\ge 0 对任意 x>0 恒成立，求实数 a 的取值范围；
3. 证明：对任意正整数 n，都有
\ln(1+2^2)+\ln(2+2^2)+\dots+\ln(n+2^2) > 2n - \frac{n(n+1)}{2}
“叮！”祁垣按下了按钮。
(1) 求单调区间
求导：
f'(x)=\ln x + 1 - a
令 f'(x)=0，得
x=e^{a-1}
当 0 当 x>e^{a-1} 时，f'(x)>0，f(x) 单调递增。
综上：
单调递减区间：\boldsymbol{(0,e^{a-1})}
单调递增区间：\boldsymbol{(e^{a-1},+\infty)}
(2) f(x)\ge 0 恒成立，求 a 的范围
由 (1) 知最小值在 x=e^{a-1} 处：
f(e^{a-1})=e^{a-1}\cdot(a-1)-a\cdot e^{a-1}+1=1-e^{a-1}
要求 f(x)_{\min}\ge 0：
1-e^{a-1}\ge0\Rightarrow e^{a-1}\le1\Rightarrow a\le1
所以实数 a 的取值范围：\boldsymbol{(-\infty,1]}
(3) 证明不等式
\ln(1+2^2)+\ln(2+2^2)+\dots+\ln(n+2^2)
证明：
先化简左边：
\sum_{k=1}^n\ln(k+4)
由 (2) 结论，取 a=1，则
x\ln x - x + 1\ge0\Rightarrow \ln x\ge1-\frac{1}{x}
对每一项：
\ln(k+4)\ge1-\frac{1}{k+4}
求和：
\sum_{k=1}^n\ln(k+4)
\ge
\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{k+4}\right)
=
n-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+4}
因为
\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+4}>0
所以
\sum_{k=1}^n\ln(k+4)>n
而右边：
2n-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{4n-n^2-n}{2}=\frac{3n-n^2}{2}
对任意正整数 n，显然
n>\frac{3n-n^2}{2}
因此：
[
\sum_{k=1}^n\ln(k+4)
2n-\frac{n(n+1)}{2}
]
原不等式得证。
“回答正确！”
之后的每一道题都是祁垣和谢闫轮流回答的，到最后也没有分出胜负。
两人回到休息室，祁垣递给谢闫一瓶水，笑着说：
“怎么突然回来了？想我啦？”
谢闫恨不得把这个姓祁的现在弄死，整天说出的话每一句正经的。
“祁垣，你有病吧，不会说话闭嘴！”
祁垣喝了一口水。
“被我说中了！”
说出这句话的后果就是被谢闫打了几拳。祁垣捂着被打的地方，慢慢地坐到沙发上。
“你可别忘了，我恨的人是你。”
祁垣摩擦着伤口的手顿了顿，随后抬起头看着站在镜子前的谢闫。
“你还在恨我？”
谢闫转过身来，面无表情地看着坐在沙发上的祁垣。
“不然呢？”
祁垣低下头，手肘搁着膝盖上。
“那个…我们都是重组家庭，都不容易，你就别……”
“什么重组不重组！一切都是你的错！”
谢闫没听祁垣把话说完就打断了他，眼睛里充满愤怒与无处可发泄的委屈，心中似乎有烈火在燃烧。
祁垣的母亲周亭就是因为在酒店和谢闫的父亲相遇，两人互相都看上了彼此，关系也越靠越近。后来在谢闫的母亲去世之后，谢佟天就马不停蹄地把周亭安排在了谢家。那是谢闫只知道自己家里来了两个陌生人，一个是不认识的大人，一个是看起来和自己差不多的小孩子——祁垣。
祁垣只比谢闫大了五个月，但在家中谢闫还是叫祁垣叫哥。
谢闫上前抓住祁垣的衣领。
“要是没有你和你妈，我现在肯定过得幸幸福福的！”
因为谢闫拉着祁垣的衣领，两人的距离近在咫尺，呼吸拍打在对方微红的脸颊上，祁垣的衣领也变得不整齐，开口到了锁骨处。
“对，对不起。”
祁垣抓住拉着他衣领的那只手的手腕，低着头，小声地说了对不起三个字。
